给定 r^2，有没有一种有效的方法来计算 r^3？答案

【问题标题】：Given r^2, is there an efficient way to compute r^3?给定 r^2，有没有一种有效的方法来计算 r^3？
【发布时间】：2011-12-09 13:19:03
【问题描述】：

double r2 = dx * dx + dy * dy;
double r3 = r2 * sqrt(r2);

第二行可以换成更快的吗？不涉及sqrt的东西？

【问题讨论】：

@nyarlathotep：假设r 是sqrt(dx * dx + dy * dy)。
@nyarlathotep 你错过了重点。如果 r = (dxdx + dydy)^(1/2)，则 r2 = r^2。但这不是问题。
我要冒昧地说，顺便提一下问题，从技术上讲，答案是否定的。原因很简单，如果给你 r^2，你不知道 r 的符号，那么如何计算 r^3？我想你真正要问的是，给定向量的平方范数，你能有效地找到立方范数吗？
根据您需要的精度和 dx/dy 比率，您可以尝试泰勒级数 ( 1+x )^( 1/2 ) = 1 + ( 1/2 )*x - ( 1/8 )*x^2 + ... 其中 x = ( dx/dy )^2
@SteveJessop：到目前为止 3 个答案，而不是一个长凳/拆卸。我不认为人们真的有兴趣找到更快的答案，他们只是把他们能想到的任何东西扔给暴徒......

标签： c++ performance floating-point distance square-root

【解决方案1】：

怎么样

double r3 = pow(r2,1.5);

如果 sqrt 被实现为 pow 的一个特殊情况，那将为您节省一个乘法。没有什么大的计划！

如果您真的在寻找更高的效率，请考虑您是否真的需要 r^3。例如，如果您只是测试它（或从它派生的东西）以查看它是否超过某个阈值，则改为测试 r2，例如

const double r3_threshold = 9;

//don't do this
if (r3 > r3_threshold)
    ....

//do do this
const double r2_threshold = pow(r3_threshold,2./3.); 
if (r2 > r2_threshold)
    ....

这样pow 只会被调用一次，甚至可能在编译时。

编辑如果您确实需要每次都重新计算阈值，我认为关于 Q_rsqrt 的答案值得一看，并且可能值得超过这个答案

【讨论】：

r2*r2*r2 > r3_thresh*r3_thresh 呢？
@dantswain 很好，避免了pow，但它需要额外的乘法，并且代码不太清晰
多出几（三）个 mults 不会比 pow 快吗？我认为可读性在这里是主观的......我通常将平方大小写为dx*dx + dy*dy < r_thresh*r_thresh；立方体版本不会让我失望。此外，如果可读性确实是一个问题，您可以将其隐藏在宏或内联中。 耸耸肩
除非你的数学库真的很糟糕，否则 sqrt() 不会通过 pow(x, .5) 实现，而且它会比 pow() 快很多（IIRC 我在某些地方对此进行了测试点和 glibc sqrt() 中的 libm 大约快一个数量级）。但是，是的，我想尝试一下不会有什么坏处..
@dantswain 我认为 Sideshow Bob 的观点是关于重复检查相同的阈值，在这种情况下，单个 pow 会比许多 muls 更好（尽管它取决于迭代次数）。但当然，一次性检查你的 mul-version 更好。考虑到这个问题的微优化性质，我还认为可读性是次要问题。

【解决方案2】：

使用fast inverse sqrt（取Q_rsqrt函数）。

你有：

float r2;
// ... r2 gets a value
float invsqrt = Q_rsqrt(r2);
float r3 = r2*r2*invsqrt; // x*x/sqrt(x) = x*sqrt(x)

注意：对于double 类型，有一个像0x5f3759df 这样的常量，它可以帮助您编写一个同时处理double 数据类型的函数。

稍后编辑：似乎该方法已经讨论过here。

后期编辑2：double 的常量在维基百科link：

Lomont 指出 64 位 IEEE754 大小的“幻数” type double 是 0x5fe6ec85e7de30da，但实际上接近 0x5fe6eb50c7aa19f9.

【讨论】：

@SideshowBob 既然用在 Quake3 代码中，我相信它是最快的
自从 Quake 3 编写以来，时代已经发生了变化。例如 SSE 有一个硬件 sqrt 指令，它更快。
See here 了解更多信息。
@IulianŞerbănoiu：它远不是最快的。它比 some 平台上的平方根指令更快，但大多数主流 CPU 可以在一条指令中计算更准确的平方根倒数估计，只需要几个周期延迟（Intel 上的rsqrtss， frsqrte 在 PPC 上，vrsqrte 在 ARM 上）。
r^2*r^2/sqrt(r^2) 的想法仍然有效，无论您使用 Quake 技巧还是硬件 1/sqrt 指令。

【解决方案3】：

我认为另一种看待您的问题的方式是“如何计算（或近似）sqrt(n)”。从那里你的问题将是微不足道的（n * sqrt（n））。当然，你必须定义你可以忍受多少错误。维基百科为您提供了许多选择：

http://en.wikipedia.org/wiki/Methods_of_computing_square_roots

【讨论】：