如何生成正确形式的 Toeplitz 矩阵以执行离散卷积？答案

【问题标题】：How can I generate a Toeplitz matrix in the correct form for performing discrete convolution?如何生成正确形式的 Toeplitz 矩阵以执行离散卷积？
【发布时间】：2015-12-30 19:50:50
【问题描述】：

离散卷积可以通过Toeplitz矩阵进行，如下图(Wiki article)：

请注意，这与一般 Toeplitz 矩阵的形式并不完全相同，但它经历了各种移位和零填充。

有没有办法在 numpy 中完全基于 roll、hstack 等来实现这一点，即不使用任何 for 循环？我已经尝试了各种转变，但我无法真正将它变成上面显示的形式。

【问题讨论】：

标签： python numpy linear-algebra convolution toeplitz

【解决方案1】：

是的，你可以使用scipy.linalg.toeplitz：

import numpy as np
from scipy import linalg

h = np.arange(1, 6)

padding = np.zeros(h.shape[0] - 1, h.dtype)
first_col = np.r_[h, padding]
first_row = np.r_[h[0], padding]

H = linalg.toeplitz(first_col, first_row)

print(repr(H))
# array([[1, 0, 0, 0, 0],
#        [2, 1, 0, 0, 0],
#        [3, 2, 1, 0, 0],
#        [4, 3, 2, 1, 0],
#        [5, 4, 3, 2, 1],
#        [0, 5, 4, 3, 2],
#        [0, 0, 5, 4, 3],
#        [0, 0, 0, 5, 4],
#        [0, 0, 0, 0, 5]])

【讨论】：

这是否适用于 2x2 numpy 数组作为输入信号？
不，scipy.linalg.toeplitz 将其所有输入视为一维数组。无论如何，我不确定 2x2 输入数组在这种情况下意味着什么。
例如图像和图像内核之间的卷积。
显然可以通过这个方法在matlab中实现stackoverflow.com/questions/16798888/…
在那个 MATLAB 问题中，如果您的内核是 x-y 可分离的，那么您可以将其表示为两个 1D 权重向量，然后如上所述构造两个单独的 Toeplitz 矩阵，并沿不同的轴计算两个单独的点积你的图像数组。