检查特征值是否等于实数的不同方法？答案

【问题标题】：Different ways to check whether an eigenvalue equals a real number?检查特征值是否等于实数的不同方法？
【发布时间】：2015-09-23 03:21:42
【问题描述】：

我有以下矩阵

M <- structure(c(0, 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 
0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0), .Dim = c(5L, 5L))

我想找到正好为 1 的特征值。我认为这会起作用：

Re(eigen(M)$values) == 1 & Im(eigen(M)$values) == 0

但Re(eigen(M)$values) == 1 认为第 5 个特征值不等于 1，尽管它确实如此。我错过了什么？

编辑：一旦它被指出为浮点问题，我会进行更多调查并找出几种解决方案，包括使用abs(value) < tol、all.equal 和signif。答案可以讨论这些选项吗？

【问题讨论】：

可能是像here这样的浮动问题
在我的电脑上，Re(eigen(M)$values)[5] 给0.9999999999999997779554 和options(digits = 22)。
因为format(Re(eigen(M)$values[c(3, 5)]), digits=22) [1] "1.0000000000000000000000" "0.9999999999999997779554"
另一种方式可能是Re(eigen(M)$values) %%1 == 0 & Im(eigen(M)$values) %% 1 == 0，即FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE。

【解决方案1】：

在 R 中，在比较像 == 这样的情况下处理浮点数的常用方法是使用函数 all.equal()。

你不妨试试：

sapply(1:nrow(M), function(x) identical(all.equal(eigen(M)$values[x],1+0i),TRUE))
[1] FALSE FALSE  TRUE FALSE  TRUE

通常有一些变通方法会导致相同的结果（round、signif...），但最好使用all.equal()，因为它是一个旨在处理浮点数比较的函数，无需需要调整准确度阈值或指定有效位数。

如?Comparison中所述：

对于数值和复数值，请记住 == 和 != 不允许分数的有限表示，也不允许舍入误差。使用 all.equal 几乎总是更可取的。

【讨论】：

您能解释一下为什么这是 R 中的首选方式吗？
但是结果不是错了吗？应该是FALSE FALSE TRUE TRUE FALSE。
它们看起来不错。根据我的电脑，第四个特征值是（-1+0i）。如果那个也应该包含在TRUE 列表中；那么可能需要在某处添加abs()。
但它是真实的。它应该包括在内。但不是第五个，正如 cmets 中已经显示的那样。
Re(eigen(M)$values) 产生-0.5 -0.5 1.0 -1.0 1.0。根据 OP，其中一个条件是，如果我正确理解了这个问题，则只应包括实数值等于 1 的值。第三个和第五个值在浮点计算的精度范围内满足这个条件，但第四个不满足。

【解决方案2】：

您可能必须使用abs；这与浮点精度有关：

abs(Re(eigen(M)$values) - 1) < .001

【讨论】：