eigh() 和 svd 不给出相同的结果

Question

考虑奇异值分解 M=USV*。然后 M* M 的特征值分解得到 M* M= V (S* S) V*=VS* U* USV*。我希望通过证明 eigh 函数返回的特征向量与 svd 函数返回的特征向量相同来验证与 numpy 的相等性：

# svd
U1,S1,V1=np.linalg.svd(M) 
S1=np.square(S1)
V1=V1.T

# eig
S2,V2=np.linalg.eigh(np.dot(M.T,M))
indx=np.argsort(S2)[::-1]
S2=S2[indx]
V2=V2[:,indx]

当我执行此代码时，向量仅相差一个符号。示例：-

v1 = array([[-0.33872745,  0.94088454],
   [-0.94088454, -0.33872745]])

and for v2:
v2 = array([[ 0.33872745, -0.94088454],
   [ 0.94088454,  0.33872745]])

为什么在特征向量中会出现这种差异，如何解决？ 任何帮助表示感谢提前谢谢你！

Answer 1

特征向量在符号变化之前是唯一的（请参阅https://math.stackexchange.com/questions/235396/eigenvalues-are-unique）。

直到符号唯一性是因为 $$ A u = \lambda $$ 也适用于 $$ A (-u) = \lambda) (-u) $$。