在 MATLAB 中求解实部 = 0 而不是虚部的函数

Question

我有一个输出复特征值向量的函数。它需要一个参数rho。我需要找到一个rho，它的复特征值位于虚轴上。换句话说，实部必须为 0。

当我运行 fzero() 时，它会引发以下错误

|| 的操作数和 && 运算符必须可转换为逻辑标量值。

而 fsolve() 只是解决虚部 = 0，这正是我想要的相反。

这是我写的函数

function lambda = eigLorenz(rho)
beta = 8/3;
sigma = 10;
eta = sqrt(beta*(rho-1));
A = [ -beta 0 eta;0 -sigma sigma;-eta rho -1];
y = [rho-1; eta; eta];

% Calculate eigenvalues of jacobian
J = A + [0 y(3) 0; 0 0 0; 0 -y(1) 0]

lambda = eig(J)

它输出 3 个特征值、2 个复共轭和 1 个实特征值（复数部分 = 0）。 我需要找到rho，它的复特征值位于虚轴上，因此实部为0。

Answer 1

两个问题：

1. fzero 仅适用于标量值函数 (f: ℝ → ℝ)
2. 复数是单个数字，几乎所有函数都将其视为单个实体。您必须强制 MATLAB 将复数拆分为虚部和实部

因此，一种可能的解决方法是取第一个复特征值的实部：

function [output, lambda] = eigLorenz(rho)

    % Constants
    beta  = 8/3;
    sigma = 10;

    eta = sqrt(beta*(rho-1));
    A = [-beta        0     eta
             0   -sigma   sigma
          -eta      rho      -1];

    y = [rho-1
         eta
         eta];

    % Calculate eigenvalues of jacobian
    J = A + [0 y(3)  0
             0    0  0
             0 -y(1) 0];

    lambda = eig(J);

    % Make it all work for all rho with FZERO(). Check whether:
    % - the complex eigenvalues are indeed each other's conjugates   
    % - there are exactly 2 eigenvalues with nonzero imaginary part
    complex = lambda(imag(lambda) ~= 0);
    if numel(complex) == 2 && ...
            ( abs(complex(1) - conj(complex(2))) < sqrt(eps) )

        output = real(complex(1));   

    else
        % Help FZERO() get out of this hopeless valley
        output = -norm(lambda);
    end

end

这样调用：

rho = fzero(@eigLorenz, 0);
[~, lambda] = eigLorenz(rho);