查找给定矩形内不与任意形状相交的所有矩形答案

【问题标题】：Finding all the rectangles within a given rectangle that do not intersect with an arbitrary shape查找给定矩形内不与任意形状相交的所有矩形
【发布时间】：2015-06-08 22:22:17
【问题描述】：

我需要找到一种算法来找到给定矩形 R 中重叠矩形的最少个数量，这些重叠矩形不与包含的一组 other 矩形的并集相交在 R 内。这些内部矩形可以重叠。这是示例 R 的可怕 ASCII 绘图：

A-----------------B-------------------------+
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|                 +--------+                |
|                 |........|                |
|                 |........|                |
C             +---D........|                |
|             |.........+--+                |
|             |.........|                   |
|             ++........+------+            |
|              |...............|            |
G              +---H...........|            |
|                  |...........|            |
|                  |...........|            |
|                  |...........|            |
|                  +-----------+            |
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E-------------I----F------------------------+

这里的矩形将包括 (A, D), (A, I), (G, F)。这似乎是一个解决方案很好理解的问题，但我只是缺乏词汇。任何答案、指点、RTFM 都会愉快而感激地接受。谢谢！

编辑：根据@Paul 在下面的观察，我要做的是找到一组矩形，它们覆盖 R 中的空间，而不覆盖由内部集合的并集组成的任何多边形。如果这有意义的话。

【问题讨论】：

我想你忘了提到矩形应该填充 R 中的区域，而不是给定矩形的联合？否则答案总是 0
我会在解决另一个问题后尽快找到答案
重叠的矩形会不会产生一堆“洞”？换句话说，我可以让四个部分相邻的矩形创建一个完全被 r3ctanlges 包围的内部区域吗？
这需要一些时间，但我找到了一些有用的资源。顺便说一句，如果你想自己搜索，“一组矩形的联合”的正确术语是“直线多边形”
谢谢，很高兴知道。碰巧，我不需要最小的集合或最大的图块；实际上，如果这样可以使算法更易于理解或执行得更快，我愿意接受次优集合。

标签： algorithm rectangles

【解决方案1】：

我相信这是一种可能的解决方法。

我将重叠的矩形称为“白色”，解决方案中的矩形称为“黑色”

首先，让我们假设我们有一个适合在交叉路口搜索的数据结构。一种可能的数据结构是Interval Tree，使用其中一个坐标上的点作为间隔（例如，如果一个矩形由两个点 (x0,y0) 和 (x1, y1) 定义，则使用 (x0, y1) 作为间隔。该链接还解释了如何扩展到更高的维度（在您的情况下，您需要 2 个）。

我不会详细介绍这种数据结构的实现，但假设我们有一个名为 Rectangles 的数据结构，并定义了以下 API：

void add(Rectangle r)
void remove(Rectangle r)
Rectangle[] getIntersecting(Rectangle r)
Rectangle[] getAdjacent(Rectangle r)

好的，现在创建Rectangles 的两个实例，分别称为black 和white。用所有白色矩形初始化white。用R 矩形（整个域）初始化black。

对于white 中的每个矩形rw，从黑色中获取相交矩形的数组arr。
对于black中的每个矩形rb，确定rw-rb的结果。这是 0、1、2、3 或 4 个矩形的集合set，具体取决于两个矩形相交的方式。
从white中删除rw，并在其中添加set的内容。这可能需要将set 中的矩形与white 中已有的矩形合并，如果这些矩形一起形成一个更大的矩形（它们相邻共享一侧）
从black 中删除rb
从 1 开始重复直到black 中不再有矩形

【讨论】：

如何保证“重叠矩形的数量最少”？
James Felix Black 在评论中放弃了“最少数量”的要求。我相信这个算法会产生最小的非重叠矩形集，但要产生最小的重叠矩形集需要额外的努力。

【解决方案2】：

使用一些基本数学，我们可以说解决您的问题的方法是分解直线多边形R \ union(rs)，其中union(rs) 表示R 内的多边形。计算R \ union(rs) 可以使用Greiner-Hormann-algorithm 完成。请注意，此步骤将产生一个带有孔的多边形，并且 - 仅当内部多边形包含孔时 - 多个其他多边形。分解描述为here（这只是一个近似值，但到目前为止我无法找到精确的算法）。

【讨论】：