创建具有对行和列 R 唯一的条目的矩阵

Question

我需要找到所有可能的 5x5 整数矩阵 1-5 在 R 中的每一行和每一列都是唯一的（想象一个数独）。

有没有什么有效的方法可以在不创建所有 120C5 矩阵然后找到合适的矩阵的情况下做到这一点？

谢谢！

Answer 1

正如我在上面的评论中所说，这种类型的矩阵称为Latin squares。

首先，我们already know 有 56 个所谓的缩减拉丁方格和 161280 个所有大小为 5 的拉丁方格。缩减后的拉丁方格使得第一列和第一行都只有 1、2 , 3, 4, 5（按此顺序）。考虑到这些缩减的拉丁方格，可以轻松（只要大小不大于 5）生成所有拉丁方格：置换除第一个之外的所有行并置换所有列。因此，正如预期的那样，161280=5!*4!*56。

通过限制第一行和第一列，可以生成 4!*3!*2!=288 个矩阵并检查哪些 56 个是拉丁方格。不过，我将跳过这一点，并从here 获取他们的列表。

首先我们读取并重新排列数据

reduced <- read.table("http://users.cecs.anu.edu.au/~bdm/data/reduced5.txt", head = FALSE, colClasses = "character")
reduced <- lapply(1:nrow(reduced), function(r) matrix(as.numeric(unlist(strsplit(unlist(reduced[r, ]), ""))) + 1, 5))
length(reduced)
# [1] 56

现在让我们生成全部 5 个！和4！分别为 1、2、3、4、5 和 1、2、3、4 的排列。

library(combinat)
perms5 <- permn(1:5)
perms4 <- permn(1:4)

最后，我们检查所有缩减的拉丁方格并以所有可能的方式排列它们

allLS <- sapply(reduced, function(m) {
  LS <- vector("list", gamma(6) * gamma(5))
  for(i in 1:gamma(5))
    for(j in 1:gamma(6))
      LS[[(i - 1) * gamma(6) + j]] <- m[perms4[[i]] + 1, perms5[[j]]]
  LS
})

只需几秒钟，我们就有了结果

length(allLS)
# [1] 161280

很容易验证它们都是不同的

table(table(sapply(allLS, paste0, collapse = "")))
#      1 
# 161280 

您还可以检查它们是否都是拉丁方格。