从 sin(a) 得到 cos(a) 的最佳方法答案

【问题标题】：Best way to get cos(a) from sin(a)从 sin(a) 得到 cos(a) 的最佳方法
【发布时间】：2011-11-23 18:38:06
【问题描述】：

将s 作为某个（未知）角“a”的正弦，获得“a 的余弦”的最快方法是什么？

我知道两种显而易见的方式：

c = cos(asin(s));

和

c = sqrt(1 - s*s);

但是我不知道函数 cos()、asin() 和 sqrt() 的实现在速度方面如何相互比较。一个比另一个快多少？它们在现代处理器中的实现之间是否存在显着差异，例如，在 x86-64 和带有 VFP 的 ARM 之间？最后，有什么更好的解决方案？

编辑：由于现在已经有 3 个不相关的答案，让我澄清一下：我最初没有角度，我只有正弦。所以没有必要告诉我将角度旋转 90 度，这样我就可以从其他函数中获得相同的值...

【问题讨论】：

你熟悉Premature Optimization这个概念吗？
测量一下你就知道了。但要注意溢出。
将此问题的范围缩小到特定的编程语言可能会有所帮助。
您的精度要求是什么？你可以近似你的函数。

标签： c++ floating-point trigonometry

【解决方案1】：

这是一种方法：

sin(a)^2 + cos(a)^2 = 1（毕达哥拉斯）

cos(a) = sqrt(1 - sin(a)^2))

您需要找出不同的象限（即分别计算 cos() 的符号）。如果你只有 sin() 值，这是不可能的（不同的角度可以有相同的 sin() 但 cos() 的符号不同）。

正如其他人指出的那样，查找表实际上可能是最快的。取决于你需要什么精度。在实践中，这几乎肯定会比您的 cos(asin()) 版本和 square root can also be optimized 更快。

SSE 和 ARM-NEON 具有平方根指令，但没有三角函数。
x87 具有平方根和 sin/cos，但没有反 sin/cos 函数。平方根比 sin/cos 快。

使用 Visual Studio 2010，这种方法的性能比我的 Core i3 笔记本电脑上基于 trig 的版本（带有快速浮点选项）快大约 6 倍（每次调用大约 20ns）。我们看一下生成的代码：

快速浮点选项，使用平方根：

; 15   :     return sqrt(1.0 - s*s);

    movsd   xmm1, QWORD PTR __real@3ff0000000000000
    mulsd   xmm0, xmm0
    subsd   xmm1, xmm0
    sqrtsd  xmm0, xmm1

使用三角函数：

; 22   :     return cos(asin(s));
call    ___libm_sse2_asin
jmp ___libm_sse2_cos

当切换到精确浮点模式时，生成的三角代码使用不同的函数（可能是 SSE 优化版本牺牲了准确性）：

fld QWORD PTR _angle_sin$[esp+esi+65600]
call    __CIasin
call    __CIcos
fstp    QWORD PTR _angle_cos$[esp+esi+65600]

【讨论】：

【解决方案2】：

最好的方法是使用eps * sqrt(1 - s * s)，其中eps 是正一或负一。这是最好的方法

在准确度方面，~~因为1 - s * s 保持接近一，因此计算平方根的误差很小。~~如果你在计算反正弦的余弦可能会失去精度'near one' 案例（练习：1/ 为什么？提示：记住 sin 在 pi/2 处最大，它的导数消失 2/ 试试看。）编辑：我说得太快了，因为@当s 接近一时，987654324@ 也会出现同样的问题。
在速度方面：平方根很容易（一些类似牛顿的方法的一些算术运算），但不清楚asin 做了什么（可能相当昂贵），cos 可能是一个订单比sqrt 慢的数量级，因此一个平方根可能比这两个超越函数调用更快。有疑问，个人资料（但我准备赌点钱）。

在您证明sqrt(1 - s * s) 对您来说不够快之前，请忘记查找表（即使在那里，您也可以找到一些方法来权衡sqrt 的准确性以换取速度）。

【讨论】：

保持接近 1 是什么意思？ 1-sin^2 将介于 1 和 0 amd 之间，平方根也是如此......
@Guy：实际上我说得太快了：如果 s 接近 1，那么 1 - s * s 接近于零，并且平方根变得不精确（导数在零处发散）。所以它似乎在这方面遇到了与 cos(asin) 方法相同的问题。但是，它仍然可能更快。
我明白了，但我说的是该段的第一部分：“因为 1 - s * s 保持接近 1，因此计算平方根的误差很小。”。 (1 - s*s) 从 0 到 1 会更好地表达这个 IMO，我不确定当 s 接近 1 时的准确性，尽管我没有深入考虑过。
是的（稍后编辑）...我同意它会更快，因此我的回答:-)
好吧，也许我应该在问之前测试它，但是既然我问了，每个人都告诉我应该剖析，好吧，我已经剖析了。使用 sqrt 比使用 asin+cos 近 30%慢（至少在我的 Linux x86-32 机器上，可能在其他架构中有所不同）。我很怀疑，因为很久以前我在一个图形应用程序中使用 sqrt，它遇到了严重的性能问题。当我用三角函数代替它时，问题就消失了。今天我不得不再次在它们之间做出选择，我很想知道从那以后事情发生了怎样的变化。

【解决方案3】：

用极坐标可视化单位圆。 r=1，theta =（角度）。那么单位圆上 X,Y（笛卡尔）坐标中的任意一点都是（cos（theta），sin（theta））。

【讨论】：

【解决方案4】：

Sin 和 Cos 只是同一条曲线偏移二分之一弧度（或 90 度），所以：

sin(a) = cos(a + pi/2)
cos(a) = sin(pi/2 - a)

pi 是 3.14159...

【讨论】：

但是我没有a，我只有s，这是某个角度的正弦。
啊，好吧，那么你的 cos(asin(s)) 可能是最快的。但无论如何都要进行基准测试。主要的数学库通常具有硬编码的特殊条件，因此如果您所做的只是 45/90/135 类型角度，那么这些可能比您执行任意 1.37、87.3 等...类型角度要快得多。跨度>

【解决方案5】：

如果你的 sin/cos 函数采用弧度：

cos(x) === sin(x+pi/2)

如果你的 sin/cos 函数取度数：

cos(x) === sin(x+90)

【讨论】：

我认为 OP 在问：鉴于 sin(x) 的值，如何计算 cos(x)，而不是如何将 cos 减少到 sin。
@larsman：给定任一值，将其反转并执行 +/- pi/2 并且 OP 得到了他们想要的答案。
@MarcB，不，我需要 x，我没有。