等距矩形点集的变换

Question

我有一组均匀分布的点，形成一个矩形（抱歉画的不好，想象所有点都是均匀分布的），并应用一个角度，我想从左图转到右图。唯一不动的点是左下角和右上角。

我想我可以使用切线推断出每个点的新位置来得到 dx 和 dy。但我不确定我最终会得到我想要的。并且可能对每个点都应用更优雅的转换？

Answer 1

所以我们要保留两个相对的矩形顶点和它们之间的对角线。

设矩形的半宽为w，半高为h，圆半径为r。设坐标原点在圆心。

对角线和OX的夹角是

theta = atan(h/w)

新矩形的对角线和下边之间的转换角度为

fi = alpha + theta

所以我们可以找到新矩形的半角

nw = r * cos(fi)

平移后的顶点坐标为

2*nw*cos(alpha) - w, -h - 2*nw*sin(alpha)

我们想找到仿射变换M，将两个顶点变换为相同的点，将第三个顶点变换为上面的坐标

    |-w  w   w|   |-w  w  2*nw*cos(alpha) - w |
M * |-h  h  -h| = |-h  h  -h - 2*nw*sin(alpha)|
    |1   1   1|   |1   1                     1|

为了找到M，我们对左矩阵求逆，并将两边乘以这个逆。

M = |nw*cos(alpha)/w     w/h - nw*cos(alpha)/h    0|
    |-nw*sin(alpha)/w    1 +  nw*sin(alpha)/h     0|
    |0                   0                        1|

现在我们可以用这个矩阵变换所有坐标，得到旋转的矩形。

我的Delphi程序生成的坐标转换示例如下：

  nX := Round(cx + x * cos(alpha)*nw/w + y * (w/h - cos(alpha)*nw / h));
  nY := Round(cy - x * nw/w*sin(alpha) + y * (1 + nw/h * sin(alpha)));