确定具有已知法线的两个点是否彼此面对（matlab）

Question

我正在尝试找到以下问题的解决方案，但尚不清楚如何解决。想象一下，我在空间中有以下几点，如下图所示：

如果我认为我唯一已知的信息是点位置及其法线，我想确定两个点（将第一个点的位置作为参考）是否彼此面对。例如从上图中的点a、b、c、d 和e 我有：

点 a 面向点 c 和 e，但不面向点 b 和 d。

点 b 面对点 d 和 e，但不面对点 a 和 c。

点 c 面向点 a，但不面向点 b、d 和 e。

点 d 面对点 b 和 e，但不面对点 a 和 c。

最后

点 e 面向点 a、b 和 d，但不面向点 c。

我的第一个想法是通过使用here 提出的解决方案来处理每对的两个法线向量之间的符号角度，但这对某些对有效，而对其他对无效。关于什么两点相互面对的想法是，如果我们将一个点视为原点，那么如果另一点在原点的 180 度视野内并且其法线向量向内移动（类似于“向") 原点。

任何可以提供帮助的想法。

谢谢。

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更新：

尝试更清楚一点并回答下面的一些 cmets。原则上，它在空间中的点对应于面部的质心。但是，我事先没有此信息（即每个点对应于面的中心，或面及其顶点的列表）。所以在更高的层次上，如果我们正在处理面孔，问题将是如何确定两个面孔是否彼此可见，但正如我所说，我现在拥有的唯一信息是空间中的实际点及其法线.

样本点：

a = [26415.3720833199 11986.0504166605 739];
na = [0 0 1];

b = [27263.8100000023 11103.1983333336 1512.50000000021];
nb = [0.102791963903622 -0.994702876318771 0];

c = [28059.5700000001 11185.4316666667 962.499999999998];
nc = [-0.102791963903623 0.994702876318771 -9.06557542353252e-16];

d = [26606.7112499615 10390.7487916521 739];
nd = [0 0 1];

e = [27792.4499999996 9225.36499999984 2782];
ne = [0 0 -1];

Answer 1

你可以通过几个简单的dot products来解决你的问题...

根据您的描述，如果a 的法线（即na）与从@ 出发的向量之间的角度，则b 点位于另一点a 的视野（FOV）内987654338@到b小于等于90度。如here所述，可以通过取b-a和na的dot product，除以b-a的length（假设na的长度已经是1）来找到角度，并获取结果的inverse cosine。将其放入anonymous function，您有：

isInFOV = @(b, a, na) (acosd(dot(b-a, na)./norm(b-a)) <= 90);

然后，如果nb 的分量（b 的法线）沿着从b 到a 的向量运行，则您可以将一个点b 定义为“指向”另一个点a是积极的。如here 所述，可以通过取a-b 和nb 的dot product 并除以a-b 的length 来找到该组件（并假设nb 的长度已经为1）。将其放入anonymous function，您有：

isPointingToward = @(b, nb, a) (dot(a-b, nb)./norm(a-b) > 0);

然后我们可以定义一个点 a 是否“面对”另一个点 b 为：

isFacing = @(a, na, b, nb) (isInFOV(b, a, na) && isPointingToward(b, nb, a));

请注意，我使用了logical short circuit AND operator &&，因为如果isInFOV 已经评估为false，则不需要评估isPointingToward。

矢量化

您可以使用bsxfun 之类的函数或用标准矩阵运算替换对dot 的调用，重新制定上述方程以向量化运算。这将允许您检查给定点所面对的集合中的哪些点。函数isFacing 的矢量化版本如下：

function index = isFacing(a, na, b, nb)

  V = bsxfun(@minus, b, a);                     % Compute b-a for all b
  V = bsxfun(@rdivide, V, sqrt(sum(V.^2, 2)));  % Normalize each row
  index = (acosd(V*na.') <= 90);                % Find points in FOV of a
  index(index) = (sum(V(index, :).*nb(index, :), 2) < 0);  % Of those points in FOV,
                                                           %   find those pointing
                                                           %   towards a

end

示例

使用问题中的样本数据：

pointMat = [26415.3720833199 11986.0504166605 739; ...               % Point a
            27263.8100000023 11103.1983333336 1512.50000000021; ...  % Point b
            28059.5700000001 11185.4316666667 962.499999999998; ...  % Point c
            26606.7112499615 10390.7487916521 739];                  % Point d
normalMat = [0 0 1; ...
             0.102791963903622 -0.994702876318771 0; ...
             -0.102791963903623 0.994702876318771 -9.06557542353252e-16; ...
             0 0 1];
p = [27792.4499999996 9225.36499999984 2782];  % Point e
np = [0 0 -1];

>> isFacing(p, np, pointMat, normalMat)

ans =

  4×1 logical array

   1    % Facing a
   1    % Facing b
   0    % Not facing c
   1    % Facing d