计数，反转位模式

Question

我正在尝试找到一种从 0 计数到 2ⁿ-1 的算法，但它们的位模式颠倒了。我只关心一个词的 n LSB。你可能已经猜到我失败了。

对于 n=3：

000 -> 0
100 -> 4
010 -> 2
110 -> 6
001 -> 1
101 -> 5
011 -> 3
111 -> 7

你明白了。

伪代码的答案很棒。欢迎任何语言的代码片段，没有位操作的答案是首选。

请不要只发布一个片段，甚至没有简短的解释或指向来源的指针。

编辑：我忘了补充，我已经有一个简单的实现，它只是对计数变量进行位反转。从某种意义上说，这种方法并不算数。

Answer 1

这是，我认为最简单的位操作，即使你说这不是首选

假设是 32 位整数，这里有一段漂亮的代码可以在 32 步内反转所有位：

 unsigned int i;
 i = (i & 0x55555555) <<  1 | (i & 0xaaaaaaaa) >>  1;
 i = (i & 0x33333333) <<  2 | (i & 0xcccccccc) >>  2;
 i = (i & 0x0f0f0f0f) <<  4 | (i & 0xf0f0f0f0) >>  4;
 i = (i & 0x00ff00ff) <<  8 | (i & 0xff00ff00) >>  8;
 i = (i & 0x0000ffff) << 16 | (i & 0xffff0000) >> 16;
 i >>= (32 - n);

本质上，这是对所有位的交错洗牌。每次值中大约一半的位与另一半交换。

最后一行是重新对齐位所必需的，以便 bin "n" 是最高有效位。

如果“n”为 ，则可以使用更短的版本

Answer 2

在每个步骤中，找到您的值的最左边的 0 位。设置它，并清除它左边的所有数字。如果你没有找到 0 位，那么你已经溢出：返回 0，或者停止，或者崩溃，或者任何你想要的。

这是在正常的二进制增量上发生的情况（我的意思是它的效果，而不是它在硬件中的实现方式），但我们是在左侧而不是右侧进行。

您是否在位操作、字符串或其他方式中执行此操作取决于您。如果您在 bitops 中执行此操作，那么 ~value 上的 clz （或调用等效的 hibit 样式函数）可能是最有效的方法： __builtin_clz 如果可用。但这是一个实现细节。

Answer 3

此解决方案最初是二进制的，并按照请求者的指定转换为常规数学。

二进制更有意义，至少乘以 2 和除以 2 应该是 > 1 以提高速度，加法和减法可能无关紧要。

如果您传入掩码而不是 nBits，并使用位移而不是乘法或除法，并将尾递归更改为循环，这可能是您能找到的最高效的解决方案，因为其他所有调用都不会但是一次添加，它只会像 Alnitak 的解决方案一样慢，每 4 次，甚至 8 次调用。

int incrementBizarre(int initial, int nBits)
    // in the 3 bit example, this should create 100
    mask=2^(nBits-1)
    // This should only return true if the first (least significant) bit is not set
    // if initial is 011 and mask is 100
    //                3               4, bit is not set
    if(initial < mask)
        // If it was not, just set it and bail.
        return initial+ mask // 011 (3) + 100 (4) = 111 (7)
    else
        // it was set, are we at the most significant bit yet?
        // mask 100 (4) / 2 = 010 (2), 001/2 = 0 indicating overflow
        if(mask / 2) > 0
            // No, we were't, so unset it (initial-mask) and increment the next bit
            return incrementBizarre(initial - mask, mask/2)
        else
            // Whoops we were at the most significant bit.  Error condition
            throw new OverflowedMyBitsException()

哇，结果有点酷。直到最后一秒，我才想到递归。

感觉不对——好像有些操作不应该工作，但由于你正在做的事情的性质，它们确实可以工作（感觉就像你在操作一个位和一些位时应该遇到麻烦左边是非零的，但事实证明，除非左边的所有位都为零，否则您永远无法对位进行操作——这是一个非常奇怪的情况，但确实如此。

从 110 到 001（倒退 3 到倒退 4）的流程示例：

mask 100 (4), initial 110 (6); initial < mask=false; initial-mask = 010 (2), now try on the next bit
mask 010 (2), initial 010 (2); initial < mask=false; initial-mask = 000 (0), now inc the next bit
mask 001 (1), initial 000 (0); initial < mask=true;  initial + mask = 001--correct answer

Answer 4

这是我的answer to a different question 的一个解决方案，它计算下一个位反转索引而不循环。不过，它在很大程度上依赖于位操作。

关键思想是增加一个数字只是翻转一系列最低有效位，例如从nnnn0111 到nnnn1000。因此，为了计算下一个位反转索引，您必须翻转一系列最高有效位。如果您的目标平台有 CTZ（“计数尾随零”）指令，这可以有效地完成。

使用 GCC 的 __builtin_ctz 的 C 示例：

void iter_reversed(unsigned bits) {
    unsigned n = 1 << bits;

    for (unsigned i = 0, j = 0; i < n; i++) {
        printf("%x\n", j);

        // Compute a mask of LSBs.
        unsigned mask = i ^ (i + 1);
        // Length of the mask.
        unsigned len = __builtin_ctz(~mask);
        // Align the mask to MSB of n.
        mask <<= bits - len;
        // XOR with mask.
        j ^= mask;
    }
}

没有CTZ指令，也可以使用整数除法：

void iter_reversed(unsigned bits) {
    unsigned n = 1 << bits;

    for (unsigned i = 0, j = 0; i < n; i++) {
        printf("%x\n", j);

        // Find least significant zero bit.
        unsigned bit = ~i & (i + 1);
        // Using division to bit-reverse a single bit.
        unsigned rev = (n / 2) / bit;
        // XOR with mask.
        j ^= (n - 1) & ~(rev - 1);
    }
}

Answer 5

void reverse(int nMaxVal, int nBits)
{
   int thisVal, bit, out;

   // Calculate for each value from 0 to nMaxVal.
   for (thisVal=0; thisVal<=nMaxVal; ++thisVal)
   {
      out = 0;

      // Shift each bit from thisVal into out, in reverse order.
      for (bit=0; bit<nBits; ++bit)
         out = (out<<1) + ((thisVal>>bit) & 1)

   }
   printf("%d -> %d\n", thisVal, out);
}

Answer 6

也许从 0 增加到 N（“通常”的方式“）并为每次迭代执行 ReverseBitOrder()。你可以找到几个实现 here（我最喜欢 LUT）。 应该很快。

Answer 7

这是 Perl 的答案。你没有说全1模式之后会发生什么，所以我只返回零。我去掉了按位运算，这样应该很容易翻译成另一种语言。

sub reverse_increment {
  my($n, $bits) = @_;

  my $carry = 2**$bits;
  while($carry > 1) {
    $carry /= 2;
    if($carry > $n) {
      return $carry + $n;
    } else {
      $n -= $carry;
    }
  }
  return 0;
}

Answer 8

这是一个解决方案，它实际上并没有尝试做任何加法，而是利用序列的开/关模式（大多数 sig 位每次交替，下一个大多数 sig 位每隔一次交替，等等），将 n 调整为想要的：

#define FLIP(x, i) do { (x) ^= (1 << (i)); } while(0)

int main() {
    int n   = 3;
    int max = (1 << n);
    int x   = 0;

    for(int i = 1; i <= max; ++i) {
        std::cout << x << std::endl;
        /* if n == 3, this next part is functionally equivalent to this:
         *
         * if((i % 1) == 0) FLIP(x, n - 1);
         * if((i % 2) == 0) FLIP(x, n - 2);
         * if((i % 4) == 0) FLIP(x, n - 3);
         */
        for(int j = 0; j < n; ++j) {
            if((i % (1 << j)) == 0) FLIP(x, n - (j + 1));
        }                       
    }
}

Answer 9

如果需要，如何将最高有效位加 1，然后进入下一个（较低有效位）位。您可以通过对字节进行操作来加快速度：

1. 预先计算一个查找表，用于从 0 到 256（00000000 -> 10000000、10000000 -> 01000000、...、11111111 -> 00000000）的位反转计数。
2. 将多字节数中的所有字节设置为零。
3. 使用查找表增加最高有效字节。如果字节为 0，则使用查找表递增下一个字节。如果字节为 0，则递增下一个字节...
4. 转到第 3 步。

Answer 10

n 为 2 的幂，x 为要步进的变量：

(defun inv-step (x n)       ; the following is a function declaration
  "returns a bit-inverse step of x, bounded by 2^n"    ; documentation
  (do ((i (expt 2 (- n 1))  ; loop, init of i
          (/ i 2))          ; stepping of i
       (s x))               ; init of s as x
      ((not (integerp i))   ; breaking condition
       s)                   ; returned value if all bits are 1 (is 0 then)
    (if (< s i)                         ; the loop's body: if s < i
        (return-from inv-step (+ s i))  ;     -> add i to s and return the result
        (decf s i))))                   ;     else: reduce s by i

我对它进行了彻底的评论，因为您可能不熟悉这种语法。

edit：这里是尾递归版本。如果你有一个带有尾调用优化的编译器，它似乎会快一点。

(defun inv-step (x n)
  (let ((i (expt 2 (- n 1))))
    (cond ((= n 1)
           (if (zerop x) 1 0))         ; this is really (logxor x 1)                                                 
          ((< x i)
           (+ x i))
          (t
           (inv-step (- x i) (- n 1))))))

Answer 11

当您反转 0 to 2^n-1 但它们的位模式反转时，您几乎覆盖了整个 0-2^n-1 序列

Sum = 2^n * (2^n+1)/2

O(1) 操作。无需进行位反转

Answer 12

编辑：当然原始发帖人的问题是要增加（反转）一，这使得事情比添加两个随机值更简单。所以 nwellnhof 的 answer 已经包含了算法。

---

将两个位反转值相加

这是 php 中的一种解决方案：

function RevSum ($a,$b) {

    // loop until our adder, $b, is zero
    while ($b) {

        // get carry (aka overflow) bit for every bit-location by AND-operation
        // 0 + 0 --> 00   no overflow, carry is "0"
        // 0 + 1 --> 01   no overflow, carry is "0"
        // 1 + 0 --> 01   no overflow, carry is "0"
        // 1 + 1 --> 10   overflow! carry is "1"

        $c = $a & $b;


        // do 1-bit addition for every bit location at once by XOR-operation
        // 0 + 0 --> 00   result = 0
        // 0 + 1 --> 01   result = 1
        // 1 + 0 --> 01   result = 1
        // 1 + 1 --> 10   result = 0 (ignored that "1", already taken care above)

        $a ^= $b;


        // now: shift carry bits to the next bit-locations to be added to $a in
        // next iteration.
        // PHP_INT_MAX here is used to ensure that the most-significant bit of the
        // $b will be cleared after shifting. see link in the side note below.

        $b = ($c >> 1) & PHP_INT_MAX;

    }

    return $a;
}

旁注：请参阅this question 了解如何转移负值。

至于测试；从零开始，将值递增 8 位反转一 (10000000)：

$value = 0;
$add = 0x80;    // 10000000 <-- "one" as bit reversed

for ($count = 20; $count--;) {      // loop 20 times
    printf("%08b\n", $value);       // show value as 8-bit binary
    $value = RevSum($value, $add);  // do addition
}

... 将输出：

 00000000
 10000000
 01000000
 11000000
 00100000
 10100000
 01100000
 11100000
 00010000
 10010000
 01010000
 11010000
 00110000
 10110000
 01110000
 11110000
 00001000
 10001000
 01001000
 11001000

Answer 13

假设编号为 1110101，我们的任务是找到下一个。

1) 在最高位置找到零并将位置标记为index。

11101010（第 4 位，所以 index = 4）

2) 将高于 index 位置的所有位设置为零。

00001010

3) 将步骤 1) 中的建立零更改为“1”

00011010

就是这样。这是迄今为止最快的算法，因为大多数 cpu 都有指令可以非常有效地实现这一点。这是一个 C++ 实现，它以反向模式递增 64 位数字。

#include <intrin.h>
unsigned __int64 reversed_increment(unsigned __int64 number) 
{
  unsigned long index, result;
  _BitScanReverse64(&index, ~number); // returns index of the highest '1' on bit-reverse number (trick to find the highest '0')
  result = _bzhi_u64(number, index); // set to '0' all bits at number higher than index position
  result |= (unsigned __int64) 1 << index; // changes to '1' bit on index position
  return result;
}

“无位”操作并没有达到您的要求，但是我担心现在有办法在没有它们的情况下实现类似的东西。