当我采用 FFT sinc(t) 时有不同的结果

Question

第一种情况：

%% Analytical calculation
syms t f
h = @(f) int(sinc(t)*exp(-1i*2*pi*f*t),t,-10,10);
subplot(2,1,1); fplot(real(h(f)),[-3 3]); grid; ylim([-3 3]);
subplot(2,1,2); fplot(imag(h(f)),[-3 3]); grid; ylim([-3 3]);

第二种情况：

%% Numerical calculation
N=100;
T = 10;
t = (2*(0:N-1)/N-1)*T;

x = sinc(t);
y = (fftshift(fft(x)));
figure;
subplot(2,1,1); plot((real(y)));
subplot(2,1,2); plot(imag(y));

为什么结果不同？ 为什么第二种情况下不是矩形脉冲？ abs和real有什么区别，应该正确使用什么？

Answer 1

简答

在第二部分，替换你的行

x = sinc(t);

通过

x = fftshift(sinc(t));

使sinc 函数以时间原点为中心，这是第一个样本。

长答案

DFT (FFT) 假定时间原点位于第一个样本处，而不管您定义的时间轴 t 是什么。请注意，在您的代码中

t = (2*(0:N-1)/N-1)*T;
x = sinc(t);
y = (fftshift(fft(x)));

fft 函数对您的 t 变量一无所知。它只是将时间轴视为[0, 1, ..., numel(x)-1]。由于您的x 被定义为在观察窗口内居中的sinc（其主瓣在中间），DFT 将其解释为不以原点为中心的sinc，而是（循环）移动观察窗口的一半。

您可能知道，时间偏移对应于在频域中乘以指数。对于 DFT，此属性适用于 循环 移位。

因此，您得到的图与您预期的图不同，因为它已以一半的采样率乘以指数，减少到[1, -1, 1, -1, ...]。请注意图中的值是如何交替正负的。

要解决这个问题，您需要定义以原点为中心的sinc，即在第一个样本处。所以主瓣的峰值和右半部分将出现在观察窗口的最左侧区域，而主瓣的左半部分将出现在最右侧区域。这可以通过将fftshift 应用到您的x 来非常简单地完成：

x = fftshift(sinc(t));
plot(x)

那么 DFT 是

y = (fftshift(fft((x))));
subplot(2,1,1); plot((real(y)));
subplot(2,1,2); plot(imag(y));