关于移动窗口 Newton-Raphson 方法的定点实现的问题答案

【问题标题】：Questions conerning fixed point implementation of a moving window Newton-Raphson Method关于移动窗口 Newton-Raphson 方法的定点实现的问题
【发布时间】：2021-09-23 15:39:32
【问题描述】：

这是我引用的参考帖子：Any Faster RMS Value Calculation in C?

#define INITIAL 512  /* Initial value of the filter memory. */
#define SAMPLES 512

uint16_t rms_filter(uint16_t sample)
{
    static uint16_t rms = INITIAL;
    static uint32_t sum_squares = 1UL * SAMPLES * INITIAL * INITIAL;

    sum_squares -= sum_squares / SAMPLES;
    sum_squares += (uint32_t) sample * sample;
    if (rms == 0) rms = 1;    /* do not divide by zero */
    rms = (rms + sum_squares / SAMPLES / rms) / 2;
    return rms;
}

参数sample是否已经是定点值并且已经被S缩放了？
sum_squares 是否在以下行中更改为定点值？

static uint32_t sum_squares = 1UL * SAMPLES * INITIAL * INITIAL;

下面这行是为了抵消上面sample 的平方吗？此外，这是整数除法，这意味着小数部分将被截断。这个可以吗？我们不会失去精度吗？

sum_squares / SAMPLES

如果sum_squares是定点值，倒数第二行的2不也应该改成定点值吗？

【问题讨论】：

由于rms 被初始化为512（中间样本值），调用rms_filter 样本值为512，您应该会得到相同的返回数字。同样，如果您继续使用相同的值 x 调用 rms_filter，则返回值应该收敛到 x。（这可能需要一段时间，因为它是一个无限响应过滤器，而不是一个有限响应过滤器。）
(1) No. (2) SAMPLES 是比例因子，因为它的值为 512，所以它相当于一个 9 个小数位的定点 1.0。 INITIAL 是初始 RMS 值，您可以将其更改为您想要的任何值。 (3) 可以改为rms = (rms * 1UL * SAMPLES + sum_squares / rms) / (2 * SAMPLES);，这样可能会更准确一些。 (4) 这实际上是我在 (3) 中的“改进”版本中所做的。

标签： c signal-processing fixed-point fixed-point-iteration

【解决方案1】：

参数样本是否已经是定点值并且已经被 S 缩放了？

除了普通整数的普通定点格式之外，显示的代码中没有明显的定点表示。

下一行中的 sum_squares 是否更改为定点值？

static uint32_t sum_squares = 1UL * SAMPLES * INITIAL * INITIAL;

没有。过滤器被初始化，就好像先前的样本都具有值INITIAL。在这种情况下，一个样本的平方为INITIAL*INITIAL，SAMPLES 样本的平方和为SAMPLES * INITIAL * INITIAL。 1UL 的存在是为了确保操作数在乘法继续之前至少转换为 unsigned long 宽度，以避免一些溢出。

这给了我们一个线索，这里没有定点表示。定点表示本质上表示具有某些缩放值 sx 的某个值 x，其中 s 是为特定定点选择的固定比例格式。（通常 s 是 2 或 10 的幂，但可以使用任何数字。）在定点格式中，如果我们乘以 x 的代表，sx，以y为代表，sy，用整数运算，得到s^{2 sup>xy。但是我们要的是xy的代表，也就是sxy。因此，我们必须除以 s。所以，如果这里有定点算法，我们希望看到类似INITIAL * INITIAL / SCALE 的东西。由于没有除以比例（或乘以比例倒数），因此没有定点算术。}

下面的行是为了抵消上面样本的平方吗？

sum_squares / SAMPLES.

不，这条线不会抵消平方。它计算平方的平均值，作为平方平均值平方根计算的一部分。由于sum_squares 是平方和，平方和的个数是SAMPLES，所以sum_squares / SAMPLES 是均值。

此外，这是整数除法，这意味着小数部分将被截断。这个可以吗？我们不会失去精度吗？

失去了一些准确性。是否可以，取决于应用程序。如果可以得到近似的结果，并且这种截断导致的错误对于应用程序来说不是太大，那么就可以了。（总的来说，信号处理人员似乎很好，但会损失很多准确性。）

如果 sum_squares 是定点值，倒数第二行的 2 不也应该改成定点值吗？

不，2 用于取较早的均方根估计值和新的均方根估计值的平均值。

这里的想法是rms 包含先前样本的均方根，或者接近它的东西。然后，由于sum_squares / SAMPLES 是最近样本的平方的平均值，将新平均值除以旧平均值的平方根 (rms) 得出的结果大约是新的均方根。将其添加到旧平均值中，然后除以 2 取平均值。他们在这里玩弄数学，但这是信号处理人员所做的。对这种近似跟踪真实均方根的效果的一些分析可能很有趣，但我不会在这里讨论它。

【讨论】：