你究竟是如何计算快速傅里叶变换的？

Question

我已经阅读了很多关于快速傅立叶变换的内容，并试图了解它的低级方面。不幸的是，Google 和 Wikipedia 根本没有多大帮助。我有 5 种不同的算法书籍打开，它们也没有多大帮助。

我试图找到像向量 [1,0,0,0] 这样简单的东西的 FFT。当然，我可以将它插入 Matlab，但这无助于我理解下面发生的事情。另外，当我说我想找到一个向量的 FFT 时，这和说我想用更有效的算法找到一个向量的 DFT 是一样的吗？

Answer 1

你说得对，“快速傅里叶变换”只是 任何 算法的名称，它在 O(n log n) 时间内计算离散傅里叶变换，并且有几种这样的算法。

这是我认为的 DFT 和 FFT 的最简单解释，以及小 N 的示例，这可能会有所帮助。 （请注意，还有其他解释和其他算法。）

离散傅里叶变换

给定N 数字 f₀、f₁、f₂、...、f_N-1，DFT 给出了一组不同的N 数字。

具体来说：设 ω 是 1 的原始 N 次根（在复数或某些有限域中），这意味着 ω^N=1 但没有更小的幂是 1。您可以将 f_k 视为多项式 P(x) = ∑f_kx^{k 的系数支持>。 DFT 给出的 N 个新数 F₀, F₁, ..., F_N-1 是评估多项式 ω 次方的结果。即对于从0到N-1的每一个n，新的数F_n为P(ωn) = ∑ _0≤k≤N-1 f_kωnk.}

[选择ω的原因是逆DFT的形式很好，与DFT本身非常相似。]

请注意，天真地找到这些 F 需要 O(N²) 次操作。但是我们可以利用来自我们选择的 ω 的特殊结构，这允许我们在 O(N log N) 中完成。任何这样的算法都称为快速傅里叶变换。

快速傅里叶变换

所以这是进行 FFT 的一种方法。我将用 2N 替换 N 以简化符号。我们有 f₀, f₁, f₂, ..., f_2N-1，我们想要计算 P(ω⁰), P(ω¹), … P(ω^2N-1) 在这里我们可以写出

P(x) = Q(x) + ω^NR(x) 与

Q(x) = f₀ + f₁x + … + f_N-1x^N-1

R(x) = f_N + f_N+1x + … + f_2N-1x^{2N- 1}

现在这就是事情的美妙之处。观察到 ω^k+N 处的值与 ω^k 处的值非常简单相关：
P(ω^k+N) = ω^N(Q(ω^k) + ω^NR(ω ^k)) = R(ω^k) + ω^NQ(ω^k)。所以 Q 和 R 在 ω⁰ 到 ω^N-1 的评估就足够了。

这意味着您的原始问题——在 2N 个点 ω⁰ 到 ω^2N-1 处评估 2N 项多项式 P——已简化为两个问题评估 N 项多项式 Q 和 R 在 N 个点 ω⁰ 到 ω^N-1。所以运行时间 T(2N) = 2T(N) + O(N) 等等，得到 T(N) = O(N log N)。

DFT 示例

请注意，其他定义将因数设为 1/N 或 1/√N。

对于N=2，ω=-1，(a,b)的傅里叶变换为(a+b, a-b)。

对于N=3，ω为1的复立方根，(a,b,c)的傅里叶变换为(a+b+c,a+bω+cω² , a+bω²+cω)。 （因为 ω⁴=ω。）

对于N=4和ω=i，(a,b,c,d)的傅里叶变换为(a+b+c+d, a+bi-c-di, a-b+c-d, a-bi-c+di)。特别是，您问题中的示例：(1,0,0,0) 上的 DFT 给出 (1,1,1,1)，也许不是很有启发性。

Answer 2

FFT 只是 DFT 的一种有效实现。两者的结果应该相同，但通常 FFT 会快得多。确保您首先了解 DFT 的工作原理，因为它更简单，也更容易掌握。

当您了解 DFT 后，请继续学习 FFT。请注意，虽然一般原理是相同的，但 FFT 有许多不同的实现和变体，例如时间抽取 v 频率抽取，基数 2 v 其他基数和混合基数，复数到复数 v 实数到复数等。

E. Brigham 的 Fast Fourier Transform and Its Applications 是一本很好的实用书籍。

Answer 3

是的，FFT 只是一种高效的 DFT 算法。除非您已经研究过复数和连续傅里叶变换，否则了解 FFT 本身可能需要一些时间；但它基本上是从周期函数派生的基础的基础变化。

（如果您想了解有关傅立叶分析的更多信息，我推荐 Gerald B. Folland 的傅立叶分析及其应用一书）

Answer 4

我也是傅立叶变换的新手，我发现这本在线书籍非常有帮助：

The Scientists and Engineer's Guide to Digital Signal Processing

该链接将您带到离散傅里叶变换的章节。本章解释了所有傅里叶变换之间的区别，以及你将在哪里使用哪一个，伪代码展示了你如何计算离散傅里叶变换。

Answer 5

如果您寻求 DFT 的简单英文解释和一点 FFT，而不是学术goggledeegoo，那么您必须阅读以下内容：http://blogs.zynaptiq.com/bernsee/dft-a-pied/

我自己无法更好地解释它。