从互相关中查找信号或相位延迟

Question

我正在使用 python，但这是一个通用问题（与算法等更相关），因此我跳过了一些步骤来了解问题的要点：

我生成一个像这样的正弦信号：

import math as m
signal = [m.sin(2*m.pi*1*(t/n-d)) for t in range(n)]

所以一个正弦信号，归一化，频率为 1，时间从 0 秒到 1 秒（所以基本上是一个简单的正弦波周期）。还有一个延迟项 d，它会延迟信号（导致相移）。 n 只是样本数

我还创建了另一个信号，但有另一个延迟。假设我对第一个信号使用 0 的延迟，对第二个信号使用 x 的延迟（为了清楚起见，我缩写了前面）：

signal1 = signal(delay=0)
signal2 = signal(delay=x)

然后我做一个关联：

from scipy import signal as sgn
corr11 = sgn.correlate(signal1, signal1, mode = 'full')
corr12 = sgn.correlate(signal1, signal2, mode = 'full')

我也知道信号延迟与相关点的最大值相关，所以我取出两个点：

import numpy as np

a1 = np.argmax(corr11)
a2 = np.argmax(corr12)

所以我发现信号与其自身的相关性在相关数组（或绘图/函数）的中间具有最大峰值。但是另一个峰很奇怪：

• 在延迟 0 和 1：a2 与 a1 相同
• 在延迟 0.5 处：a2 与 a1 的距离是 a1 的 0.5（反相信号）
• 在延迟 0.28328：a2 是 a1 的 0.75
• 在延迟 0.1 处：a2 是 a1 的 0.90888

所以问题是，延迟 d 与信号相关后的峰值位置有何关系？

Answer 1

似乎延迟大约等于(a1 - a2) / n。但是，我认为答案有点扭曲，因为a）您只使用单个周期正弦波，b）您使用有限数量的数据点（显然）。要获得单周期正弦波情况的更准确答案，您可能希望获得相关性的数学定义并使用正确的限制进行必要的积分（但我不确定 SO 是正确的地方寻求集成方面的帮助）。

这是一个独立的脚本，它绘制了信号和相关性，希望能提供更多的直觉。注意：当您重复正弦波的周期数时，我上面给出的近似值似乎变得更加准确。例如，对于 100 个周期和 100000 个数据点，上面的近似值（这里修改为 n_repeats * (a1 - a2) / n）似乎变得更加准确。

脚本

import numpy as np
from scipy import signal
import matplotlib.pyplot as plt

# Set parameters

# x = 0.5
x = 0.28328
# x = 0.25
# x = 0.1
# n = 100000
# n_repeats = 100
n = 1000
n_repeats = 1

# Get correlations
t = np.linspace(0, n_repeats, n)

sin_delay = lambda delay: np.sin(2.0 * np.pi * (t - delay))

signal1 = sin_delay(delay=0)
signal2 = sin_delay(delay=x)

corr11 = signal.correlate(signal1, signal1, mode = 'full')
corr12 = signal.correlate(signal1, signal2, mode = 'full')

a1 = np.argmax(corr11)
a2 = np.argmax(corr12)

# Print output
print(a1, a2, x, n_repeats * (a1 - a2) / n)

# Make plots
plt.figure()
plt.plot(signal1, "r")
plt.plot(signal2, "b")
plt.title("Signals, delay = {:.3f}".format(x))
plt.legend(["Original signal", "Delayed signal"], loc="upper right")
plt.grid(True)
plt.savefig("Signals")
plt.figure()
plt.plot(corr11, "r")
plt.plot(corr12, "b")
plt.title("Correlations, delay = {:.3f}".format(x))
plt.legend(["Auto-correlation", "Cross-correlation"], loc="upper right")
plt.grid(True)
plt.savefig("Correlations")

n = 1000, n_repeats = 1 的控制台输出

999 749 0.28328 0.25

n = 100000, n_repeats = 100 的控制台输出

99999 99716 0.28328 0.283

使用n = 1000, n_repeats = 1 输出图像