根据未知数求解未知系统

Question

我正在尝试根据未知数（无常数）求解 5x5 Cholesky 分解（对于方差-协方差矩阵）。

为了举例，简化版本是 2x2 分解：

[[a,0],[b,c]]*[[a,b],[0,c]]=[[U1,U2],[U2,U3]]

是否有软件（我精通 R，所以如果 R 能做到，那就太好了）可以解决上述问题，以根据右手变量产生左手变量的答案？即这将是最终答案：

a = sqrt(U1)
b = U2/sqrt(U1)
c = sqrt(U3+U2/U1)

Answer 1

看看this Wikipedia section。

分解的第 (i,j) 个条目的符号定义是根据上面和左侧的条目递归定义的。您可以使用 Matlab's Symbolic Math Toolbox 实现这些递归，然后应用它们（象征性地）以获得 5x5 案例的公式。请注意，对于某些未知数，您最终可能会得到非常复杂的公式，并且 - 除了不寻常的情况 - 即使对于固定大小的 5x5 矩阵，也可以迭代地实现分解。