cvRodrigues2 中雅可比矩阵的计算

Question

我正在阅读opencv的源代码：cvProjectPoints2，cvRodrigues2。

在cvProjectPoints2中，先用cvRodrigues2( &_r, &matR, &_dRdr );得到雅可比矩阵，然后用rvec（轴角表示）计算像素的偏导数。

if( dpdr_p )
{
    double dx0dr[] =
    {
        X*dRdr[0] + Y*dRdr[1] + Z*dRdr[2],
        X*dRdr[9] + Y*dRdr[10] + Z*dRdr[11],
        X*dRdr[18] + Y*dRdr[19] + Z*dRdr[20]
    };
    double dy0dr[] =
    {
        X*dRdr[3] + Y*dRdr[4] + Z*dRdr[5],
        X*dRdr[12] + Y*dRdr[13] + Z*dRdr[14],
        X*dRdr[21] + Y*dRdr[22] + Z*dRdr[23]
    };
    double dz0dr[] =
    {
        X*dRdr[6] + Y*dRdr[7] + Z*dRdr[8],
        X*dRdr[15] + Y*dRdr[16] + Z*dRdr[17],
        X*dRdr[24] + Y*dRdr[25] + Z*dRdr[26]
    };
    for( j = 0; j < 3; j++ )
    {
        double dxdr = z*(dx0dr[j] - x*dz0dr[j]);
        double dydr = z*(dy0dr[j] - y*dz0dr[j]);
        double dr2dr = 2*x*dxdr + 2*y*dydr;
        double dcdist_dr = k[0]*dr2dr + 2*k[1]*r2*dr2dr + 3*k[4]*r4*dr2dr;
        double dicdist2_dr = -icdist2*icdist2*(k[5]*dr2dr + 2*k[6]*r2*dr2dr + 3*k[7]*r4*dr2dr);
        double da1dr = 2*(x*dydr + y*dxdr);
        double dmxdr = fx*(dxdr*cdist*icdist2 + x*dcdist_dr*icdist2 + x*cdist*dicdist2_dr +
                           k[2]*da1dr + k[3]*(dr2dr + 2*x*dxdr));
        double dmydr = fy*(dydr*cdist*icdist2 + y*dcdist_dr*icdist2 + y*cdist*dicdist2_dr +
                           k[2]*(dr2dr + 2*y*dydr) + k[3]*da1dr);
        dpdr_p[j] = dmxdr;
        dpdr_p[dpdr_step+j] = dmydr;
    }
    dpdr_p += dpdr_step*2;
}

dRdr的形状为3*9，从dRdr的索引使用方式来看：

X*dRdr[0] + Y*dRdr[1] + Z*dRdr[2], //-> dx0dr1
X*dRdr[9] + Y*dRdr[10] + Z*dRdr[11], //-> dx0dr2
X*dRdr[18] + Y*dRdr[19] + Z*dRdr[20] //-> dx0dr3

雅可比矩阵似乎是：

dR1/dr1, dR2/dr1, ..., dR9/dr1,
dR1/dr2, dR2/dr2, ..., dR9/dr2,
dR1/dr3, dR2/dr3, ..., dR9/dr3,

但据我所知，雅可比矩阵的形状应该是 9*3，因为它是 R(1~9) w.r.t r(1~ 3）：

dR1/dr1, dR1/dr2, dR1/dr3,
dR2/dr1, dR2/dr2, dR2/dr3,
...
...
dR9/dr1, dR9/dr2, dR9/dr3,

正如docs of cvRodrigues2 所说：

jacobian – 可选输出 Jacobian 矩阵，3x9 或 9x3，它是 输出数组分量的偏导数矩阵 关于输入数组组件。

所以我误解了代码和文档吗？还是代码使用其他约定？或者它是一个错误（不太可能......）？

Answer 1

如果您查看文档：

src – Input rotation vector (3x1 or 1x3) or rotation matrix (3x3).
dst – Output rotation matrix (3x3) or rotation vector (3x1 or 1x3), respectively.
jacobian – Optional output Jacobian matrix, 3x9 or 9x3, which is a matrix of partial derivatives of the output array components with respect to the input array components.

如您所见，您可以切换源和目标位置（从数学上讲，这将完全是换位），但代码没有考虑到它。

因此，您确实得到了转置雅可比行列式，因为您切换了第一个参数位置（从它们类型的默认位置）。再次切换它们，你会得到正常的雅可比行列式！