求解模 2 的线性矩阵方程

Question

我有一个这样的矩阵：

import numpy as np

A = np.array([
    [1,1,1,0],
    [1,1,0,1],
    [1,0,1,1],
    [0,1,1,1]
])

还有一个向量：

b = np.array([0,1,1,1])

我想解方程：A * x = b。但我想以模 2 解决它。这意味着 1 + 1 = 0。所以这种情况下的解决方案是：

x = np.array([0,0,0,1])

我找到了Solving systems of equations modulo a certain number, with or without numpy，但由于某种原因，该解决方案对我不起作用。我得到了错误：

ValueError: pow() 指定第三个参数时，第二个参数不能为负数

为什么它不起作用？还有其他解决方案吗？

Answer 1

由于模的原因，您不能使用经典的线性代数方法来解决这个组合问题。希望模数 2 的使用可以使问题变得更简单。实际上，加法模 2 的行为类似于 XOR 二进制函数，而乘法类似于 AND 二进制函数。因此问题可以改写如下：

x1 ^ x2 ^ x3 ^  0 = 0
x1 ^ x2 ^  0 ^ x4 = 1
x1 ^  0 ^ x3 ^ x4 = 1
 0 ^ x2 ^ x3 ^ x4 = 1

因此：

x1 ^ x2 ^ x3 = 0
x1 ^ x2 ^ x4 = 1
x1 ^ x3 ^ x4 = 1
x2 ^ x3 ^ x4 = 1

这个例子可以轻松解决，因为x1 ^ x2 ^ x3 = 0 表示要么 x1、x2 和 x3 为零，要么将树变量中的两个设置为 1，这与以下 3 条规则相冲突。

但是，在任意A 矩阵上，该问题似乎很难解决，并且非常接近于解决boolean satisfiability problem，后者被证明是NP-complete。

此外，请注意，对于A 和b，该解决方案可能不存在或可能不是唯一的。

使用 CSP 求解器 肯定有助于轻松解决此问题，但如果问题不是 NP 完全的（这尚未得到证明），它可能不是最佳方法。有很多 Python 库可以解决这个问题（例如 OR-tools 应该能够做到这一点）。