线性递归算法中的矩阵求幂

【问题标题】：matrix exponentiation in linear recursion algorithm线性递归算法中的矩阵求幂
【发布时间】：2014-04-02 14:37:42
【问题描述】：

我正在尝试通过线性递归解决http://www.spoj.com/problems/FIBTWIST/ 问题。但是，由于约束很大，我必须使用矩阵求幂。我已阅读http://zobayer.blogspot.in/2010/11/matrix-exponentiation.html 所以根据它形成的方程是

ft(n)=ft(n-1)+ft(n-2)+g(n)    ft(0)=0, ft(0)=1
g(n) =g(n-1)+1                g(1)=0

但是现在我很困惑如何形成 A*M=B 形式的矩阵 A 和 B。它在提到的 blogspot 链接中作为 Type 7 给出，但我很难理解它。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

定义第三个序列，fut，Fibonacci-untwist，为

fut(n)=ft(n)+(n+2)。

然后

fut(n)=ft(n)+n+1=ft(n-1)+ft(n-2)+(n-1)+(n+2)=fut(n-2)+未来(n-1)

所以 fut 只是斐波那契递归的另一种解决方案，因此

fut(n)=f(n-1)*fut(0)+f(n)*fut(1)=2*f(n-1)+4*f(n)=2*f( n)+2*f(n+1)=2*f(n+2)

最后

ft(n)=2*f(n+2)-(n+2)

测试：

    f(n):   0  1  1  2  3  5  8 13 21 34
2*f(n+2):   2  4  6 10 16 26 42 68
     n+2:   2  3  4  5  6  7  8  9
   ft(n):   0  1  2  5 10 19 34 59

真的，最后一行是第二行和第三行的区别。

【讨论】：