矩阵的秩与独立列的数量相矛盾答案

【问题标题】：Rank of matrix contradicts the number of independent columns矩阵的秩与独立列的数量相矛盾
【发布时间】：2021-10-24 11:46:08
【问题描述】：

我有 50x49 矩阵 A，它有 49 个线性独立的列。但是，我的软件（八度）告诉我它的排名是 44：

是不是因为一些计算错误？如果是这样，那么如何防止此类错误？
如果软件能够正确计算rref(A)，那么为什么它会以rank(A) 失败？这是否意味着计算rank(A) 比计算rref(A) 更容易出错，反之亦然？我的意思是 rref(A) 实际上告诉你排名，但这里有一个矛盾。

附：我已经检查过了，Python 也犯了同样的错误。

编辑 1：这是 matrix A 本身。给出了前 9 列。其余部分通过多项式特征获得。

EDIT 2：我发现了一个类似的问题。这是排名 10 的 10x10 matrix B（并且 octave 正确计算其排名）。但是，八度表示rank(B * B) = 9 这是不可能的。

【问题讨论】：

我们如何判断您是否不提供矩阵...？或者一个更小的重现问题的方法
@LuisMendo，你好！你是对的。我已在编辑中附加了矩阵。不幸的是我找不到更短的，因为我是第一次遇到这个问题。
@LuisMendo，我找到了一个较短的矩阵B（参见EDIT 2）。它实际上并不代表相同的问题，因为rank(B) 与其独立列的数量并不矛盾，但这也是错误的行为。
这似乎是一个数字问题，正如您所怀疑的那样。矩阵的条件数很大（见cond）
矩阵应该是可逆的，但它不是。这种区别在理论上是明确的，但在实践中并非如此。具有大 条件数 的矩阵（如您的示例中所示）是可逆的，但具有数值不稳定性。把它想象成B 有一个非常小的行列式，所以它几乎是单数的。结果，逆矩阵的计算精度会很差。或者它可能是 B 是“真正的”奇异的，但以前计算的小数值错误使它看起来非奇异......你怎么知道？是的，这是众所周知的。一般来说，避免使用大条件数的矩阵

标签： matlab matrix octave linear-algebra rank

【解决方案1】：

可逆矩阵（即满秩）和不可逆矩阵之间的区别在理论上是明确的，但在实践中并非如此。可以反转矩阵 B 和大 condition number（如您的示例），但计算逆矩阵在数值上是不稳定的。它大致对应于具有“小”行列式的B（使用适当的“小”相对度量），因此矩阵几乎是奇异的。结果，逆矩阵的计算精度会很差。在您的示例B 中，条件数（使用cond 计算）为2.069e9。

另一种看待这个问题的方式是：当条件数很大时，B 很可能是“真正”奇异的，但是之前计算的小数值错误使它看起来几乎不是非奇异的。所以你不能确定。

rank 和 rref 函数使用不同的算法（rank 的奇异值分解，rref 的高斯-乔丹消除和部分旋转）。对于表现良好的矩阵，两种情况下的数值误差都会很小，并且结果将是一致的。但是对于条件不良的矩阵，数值误差会很大，并且在每种情况下都可能不同，从而产生不一致的结果。

这是一个众所周知的数值代数问题。一般情况下，应避免对条件数较大的矩阵求逆。

【讨论】：