生成某些排列

Question

我有 2 个变量...输入的数量 N 和历史 M 的长度。这两个变量决定了矩阵 V 的大小，即 n x m，即 n 行 m 列。

我很难想出一种算法，使我能够生成一定数量的排列（或序列，你认为合适的）。

如果有人可以在 Matlab 中帮助我提供算法，我将非常高兴，但伪算法也非常好。

我举三个例子：

1. 如果输入数为 N = 1，历史长度为 M = 2，则我有 (M+1)^N 个不同的组合，在本例中为 3。排列为：

（如果您不熟悉 matlab 矩阵表示法，, 分隔列，; 分隔行。）

V(1) = [1,0,0] 
V(2) = [0,1,0]
V(3) = [0,0,1]

1. 如果输入数为 N = 2，历史长度为 M = 2，我有 (M+1)^N 个不同的组合，在本例中为 9。

排列是：

V(1) = [1,0,0; 1,0,0]
V(2) = [1,0,0; 0,1,0]
V(3) = [1,0,0; 0,0,1]
V(4) = [0,1,0; 1,0,0]
V(5) = [0,1,0; 0,1,0]
V(6) = [0,1,0; 0,0,1]
V(7) = [0,0,1; 1,0,0]
V(8) = [0,0,1; 0,1,0]
V(9) = [0,0,1; 0,0,1]

1. 如果输入数为 N = 3，历史长度为 M = 3，我有 (M+1)^N 个不同的组合，在本例中为 64。

排列是：

V(1)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 1,0,0,0] 
V(2)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 0,1,0,0]
V(3)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 0,0,1,0]
V(4)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 0,0,0,1]
V(5)  = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
        ...
V(8)  = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,0,1]
V(9)  = [1,0,0,0; 0,0,1,0; 1,0,0,0]
        ...
V(16) = [1,0,0,0; 0,0,0,1; 0,0,0,1]
V(17) = [0,1,0,0; 1,0,0,0; 1,0,0,0]
        ...
V(64) = [0,0,0,1; 0,0,0,1; 0,0,0,1]

---

编辑：我刚刚找到了一种方法来生成非常大的矩阵 W，其中每一行代表 V(i)

对于第一种情况：

W = eye(3)

这里eye(k)创建一个大小为k x k的单位矩阵

对于第二种情况：

W = [kron(eye(3),    ones(3,1)), ...
     kron(ones(3,1),    eye(3))]

这里kron是大小为k x l的kronecker product和ones(k,l)creates a matrix with ones

对于第三种情况：

W = [kron(kron(eye(4),    ones(4,1)), ones(4,1)), ...
     kron(kron(ones(4,1),    eye(4)), ones(4,1)), ...
     kron(kron(ones(4,1), ones(4,1)),    eye(4))]

现在我们已经创建了矩阵 W，其中每一行以向量形式表示 V(i)，V(i) 还不是矩阵。

观察两件事：

1. 当输入 N 增加时，一个额外的列会添加一个额外的克罗内克积，并且单位矩阵会沿着向量移动。
2. 当历史 M 的长度增加时，单位矩阵向量也会增加，例如 eye(4) -> eye(5)、ones(4,1) -> one(5,1)。

Answer 1

我想这可以满足您的所有要求。甚至顺序对我来说也是正确的：

M=3;N=3;
mat1=eye(M+1);
vectors=mat2cell(repmat(1:M+1,N,1),ones(N,1),[M+1]);

超高效的笛卡尔积，取自here：

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
n = numel(vectors); %// number of vectors
combs = cell(1,n); %// pre-define to generate comma-separated list
[combs{end:-1:1}] = ndgrid(vectors{end:-1:1}); %// the reverse order in these two
%// comma-separated lists is needed to produce the rows of the result matrix in
%// lexicographical order
combs = cat(n+1, combs{:}); %// concat the n n-dim arrays along dimension n+1
combs = reshape(combs,[],n); %// reshape to obtain desired matrix
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%    

V=cell(size(combs,1),1);
for i=1:size(combs,1)
    for j=1:size(combs,2)
        V{i,1}=[V{i,1};mat1(combs(i,j),:)];
    end
end

输出：

M=2,N=2;

V=

[1,0,0;1,0,0]
[1,0,0;0,1,0]
[1,0,0;0,0,1]
[0,1,0;1,0,0]
[0,1,0;0,1,0]
[0,1,0;0,0,1]
[0,0,1;1,0,0]
[0,0,1;0,1,0]
[0,0,1;0,0,1]

M=3;N=3;  %order verified for the indices given in the question

V(1)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 1,0,0,0] 
V(2)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 0,1,0,0]
V(3)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 0,0,1,0]
V(4)  = [1,0,0,0; 1,0,0,0; 0,0,0,1]
V(5)  = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 1,0,0,0]
        ...
V(8)  = [1,0,0,0; 0,1,0,0; 0,0,0,1]
V(9)  = [1,0,0,0; 0,0,1,0; 1,0,0,0]
        ...
V(16) = [1,0,0,0; 0,0,0,1; 0,0,0,1]
V(17) = [0,1,0,0; 1,0,0,0; 1,0,0,0]
        ...
V(64) = [0,0,0,1; 0,0,0,1; 0,0,0,1]

Answer 2

您可以通过考虑基数 M+1 中的输入来生成这些。

此基数中的每个数字都指定矩阵的哪一部分应在每行中设置为 1。

function V=makeperm(i,N,M)
i = i - 1;
V = zeros(N,M+1);
P = M+1;
% Generate digits in base P
for row = N:-1:1
    col=mod(i,P)+1;
    i=floor(i/P);
    V(row,col)=1;
end

此函数将为 N,M 的输入产生第 i^th 个排列。

例如

makeperm(17,3,3)
ans =

0   1   0   0
1   0   0   0
1   0   0   0

Answer 3

此代码使用allcomb tool from MATLAB file-exchange 生成与V 的每一行对应的十进制数。 allcomb的代码可以从here获取。

解决上述问题的工作代码是 -

power_vals = power(2,M:-1:0);
pattern1 = repmat({power_vals},1,N);
dec_nums = allcomb(pattern1{:});

bin_nums = fliplr(de2bi(num2str(dec_nums,'%1d').'-'0')); %//'
Vout = permute(reshape(bin_nums,N,size(bin_nums,1)/N,[]),[1 3 2]);

因此，Vout 的 nth 3D 切片将代表 V(n)。

示例运行 -

使用M = 2 和N = 2，您将拥有 -

>> Vout
Vout(:,:,1) =
     1     0     0
     1     0     0
Vout(:,:,2) =
     1     0     0
     0     1     0
Vout(:,:,3) =
     1     0     0
     0     0     1
Vout(:,:,4) =
     0     1     0
     1     0     0
Vout(:,:,5) =
     0     1     0
     0     1     0
Vout(:,:,6) =
     0     1     0
     0     0     1
Vout(:,:,7) =
     0     0     1
     1     0     0
Vout(:,:,8) =
     0     0     1
     0     1     0
Vout(:,:,9) =
     0     0     1
     0     0     1