如何生成具有随机条目且对行和列有约束的矩阵？

Question

如何生成一个矩阵，其条目是介于 0 和 1 之间的随机实数，并带有附加约束：每行的总和必须小于或等于 1，每列的总和必须小于或等于到一个。

例子：

matrix = [0.3, 0.4, 0.2;
          0.7, 0.0, 0.3; 
          0.0, 0.5, 0.1]

Answer 1

如果您想要一个均匀分布并满足这些约束的矩阵，您可能需要一个拒绝方法。在 Matlab 中是：

n = 3;
done = false;
while ~done
    matrix = rand(n);
    done = all(sum(matrix,1)<=1) & all(sum(matrix,2)<=1);
end

请注意，对于大型 n，这会很慢。

Answer 2

如果您正在寻找 Python 方法，这只是 Luis Mendo 拒绝方法的抄本。为简单起见，我将使用 NumPy：

import numpy as np
n = 3
done = False

while not done:
    matrix = np.random.rand(n,n)
    done = np.all(np.logical_and(matrix.sum(axis=0) <= 1, matrix.sum(axis=1) <= 1))

---

如果您没有 NumPy，则可以将 2D 矩阵生成为列表列表：

import random 
n = 3
done = False

while not done:

    # Create matrix as a list of lists
    matrix = [[random.random() for _ in range(n)] for _ in range(n)]

    # Compute the row sums and check for each to be <= 1
    row_sums = [sum(matrix[i]) <= 1 for i in range(n)]

    # Compute the column sums and check for each to be <= 1
    col_sums = [sum([matrix[j][i] for j in range(n)]) <= 1 for i in range(n)]

    # Only quit of all row and column sums are less than 1
    done = all(row_sums) and all(col_sums)

Answer 3

拒绝方法肯定会给你一个统一的解决方案，但可能需要很长时间才能生成一个好的矩阵，尤其是当你的矩阵很大时。所以另一种但更乏味的方法是生成每个元素，使得每个方向的和只能为 1。为此，您总是会在 0 到 1 之前生成一个新元素：

n = 3

matrix = zeros(n+1); %dummy line in first row/column
for k1=2:n+1
for k2=2:n+1
   matrix(k1,k2)=rand()*(1-max(sum(matrix(k1,1:k2-1)),sum(matrix(1:k1-1,k2))));
end
end

matrix = matrix(2:end,2:end)

这有点棘手，因为对于每个元素，您都要检查行总和和列总和直到该点，并使用两者中较大的一个来生成新元素（为了保持两个方向的总和低于 1 ）。出于实际原因，我在矩阵的开头用零行和列填充，以避免k1-1 和k2-1 出现索引问题。

请注意，正如@LuisMendo 所指出的，这将具有与拒绝方法不同的分布。但是，如果您的约束不考虑分布，这也可以（这将为您提供一次运行的矩阵）。