Matlab : 帮助实现一个映射函数的编码

Question

一个例子：考虑单峰logistic map：x[n+1] = 4*x[n](1-x[n])。该地图可用于使用该技术生成 +1/-1 符号

我想使用地图f(x) 将上述概念扩展为 3 个级别，每个级别对应一个符号，但我不确定如何做到这一点。

Answer 1

要将连续范围（例如作为伪随机数生成器的输出或逻辑图）映射到一小组离散值，您需要将连续范围拆分为多个区域，并分配每个区域的输出值。这些区域的限制将决定要使用的相应阈值。

例如，在二进制情况下，您从[0,1] 中的连续值范围开始，您将其分成两个区域：[0,0.5] 和(0.5,1]。这些区域中的每一个都开始分配一个输出符号，即-1 和+1。正如您所指出的，将区域边界设置为[0,1] 输入范围的中点会为您提供 0.5 的阈值。这可以实现为：

if (x > 0.5)
  symbol = +1;
else
  symbol = -1;
end

作为更紧凑的实现，公式2*(x>0.5)-1 利用了这样一个事实，即在 Matlab 中 true 条件（来自 x>0.5 表达式）的值为 1，而 false 的值为 0。

对于 3 个离散输出值，您同样可以将 [0,1] 输入范围分成 3 个区域：[0,1/3]、(1/3,2/3] 和 (2/3,1]。因此相应的阈值是 1/3 和 2/3。

最后，对于 8 个离散输出值，您可以类似地将 [0,1] 输入范围分成 8 个区域：[0,1/8]、(1/8,2/8]、(2/8,3/8]、(3/8,4/8]、(4/8,5/8]、(5/8,6/8]、@987654347 @ 和 (7/8,1]。因此对应的阈值为 1/8、2/8、3/8、4/8、5/8、6/8 和 7/8，如下图所示：

thresholding function input: |-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|
                             0     |     |     |     |     |     |     |     1
thresholds:                       1/8   2/8   3/8   4/8   5/8   6/8   7/8
                                |     |     |     |     |     |     |     |
                                v     v     v     v     v     v     v     v
generated symbol:              -7    -5    -3    -1    +1    +3    +5    +7

然后给出以下符号映射实现：

if (x < 1/8)
  symbol = -7;
elseif (x < 2/8)
  symbol = -5;
elseif (x < 3/8)
  symbol = -3;
elseif (x < 4/8)
  symbol = -1;
elseif (x < 5/8)
  symbol = +1;
elseif (x < 6/8)
  symbol = +3;
elseif (x < 7/8)
  symbol = +5;
else
  symbol = +7;
end

作为更紧凑的实现，您可以类似地使用floor 函数来获取离散级别：

% x : some value in the [0,1] range
% s : a symbol in the {-7,-5,-3,-1,+1,+3,+5,+7} set
function s = threshold(x)
  % Note on implementation:
  %   8*x turns the input range from [0,1] to [0,8]
  %   floor(8*x) then turns that into values {0,1,2,3,4,5,6,7}
  %   then a linear transform (2*() - 7) is applied to map
  %      0 -> -7, 1 -> -5, 2 -> -3, ..., 7 -> 7
  %   min/max finally applied just as a safety to make sure we don't overflow due
  %   to roundoff errors (if any).
  s = min(7, max(-7, 2*floor(8*x) - 7));
end

现在，如果您想生成实部为 8 级，虚部为 8 级的复杂符号，您只需将它们组合起来，就像在二进制情况下一样。主要是你会生成一个给你实部的第一个值，然后是虚部的第二个值：

x_real = rand(); % random input 0 <= x_real <= 1
x_imag = rand(); % another one
s = threshold(x_real) + sqrt(-1)*threshold(x_imag);

---

解决先前版本的问题提出的一些观点：

需要注意的是x[n+1] = 4*x[n](1-x[n]) 将[0,1] 中的值映射到相同的值范围。这使得可以迭代地应用映射以获得附加值，并相应地使用阈值应用生成二进制序列 (x > 0.5)。另一方面，您提供的函数f(x)（在问题的早期编辑中）将具有不连续性的范围内的值（大致覆盖[-7.5,7.5]，取决于p）映射到[0,1]。换句话说，您需要修改f(x) 或以其他方式将其输出映射回f(x) 的输入域。考虑将[-8,+8] 范围内的通用统一伪随机数生成器作为阈值函数的输入可能更容易：

% x : some value in the [-8,8] range
% s : a symbol in the {-7,-5,-3,-1,+1,+3,+5,+7} set
function s = threshold_8PAM(x)
  s = min(7, max(-7, 2*round(x/2 + 0.5) - 1));
end

要获得最终的 64-QAM 符号，您可以将两个 8-PAM 符号正交组合（即x64qam = xQ + sqrt(-1)*xI，其中xQ 和xI 均已通过上述过程生成）。

也就是说，如果目标是使用 64-QAM 符号和附加混沌调制来实现数字通信系统，那么您最终需要考虑要传输的输入数据源，而不是随机生成混沌调制和源数据在一个镜头。也就是说，即使对于性能评估，您最终会随机生成源数据，但独立于混沌调制生成它仍然是一个好主意。

针对这些问题，An Enhanced Spectral Efficiency Chaos-Based Symbolic Dynamics Transceiver Design 论文提出了一种基于您提供的逆映射的不同方法，可以实现为：

function x = inverse_mapping(x,SymbIndex,p)
  if (SymbIndex==0)
    x = ((1-p)*x-14)/2;
  elseif (SymbIndex==1)
    x = ((1-p)*x-10)/2;
  elseif (SymbIndex==2)
    x = ((1-p)*x-6)/2;
  elseif (SymbIndex==3)
    x = ((1-p)*x-2)/2;
  elseif (SymbIndex==4)
    x = ((1-p)*x+2)/2;
  elseif (SymbIndex==5)
    x = ((1-p)*x+6)/2;
  elseif (SymbIndex==6)
    x = ((1-p)*x+10)/2;
  elseif (SymbIndex==7)
    x = ((1-p)*x+14)/2;
  end
end

您可能会注意到，该函数采用符号索引（3 位，您可以从输入源数据中获取）和调制输出的当前状态（您可以使用收敛范围内的任何值作为种子） inverse_mapping) 作为两个独立的输入流。请注意，您可以通过使用输入符号索引s=0 和s=7（例如使用x=0 的种子）查找重复应用映射的限制来计算inverse_mapping 的收敛范围的界限。这应该收敛到[-14/(1+p), 14/(1+p)]。

the above referenced paper中描述的混沌调制可以通过（以设置控制参数p=0.8为例）：

% Simulation parameters
Nsymb = 10000;
p     = 0.8;
M     = 64;

% Source data generation
SymbolIndexQ = randi([0 sqrt(M)-1],Nsymb,1);
SymbolIndexI = randi([0 sqrt(M)-1],Nsymb,1);

% Modulation
xmax = 14/(1+p); % found by iterative application of inverse_mapping 
xQ = xmax*(2*rand(1)-1); % seed initial state
xI = xmax*(2*rand(1)-1); % seed initial state
x  = zeros(Nsymb,1);
for i=1:Nsymb
  xQ = inverse_mapping(xQ, SymbolIndexQ(i), p);
  xI = inverse_mapping(xI, SymbolIndexI(i), p);
  x(i) = xQ + sqrt(-1)*xI;
end

% x holds the modulated symbols
plot(real(x), imag(x), '.');

% if you also need the unmodulated symbols you can get them from
% SymbolIndexQ and SymbolIndexI
s = (2*SymbolIndexQ-7) + sqrt(-1)*(2*SymbolIndexI-7);

with应该产生对应的星座图：

或p=1（基本上是未调制的）：