如何从此 Ax=b 中检索 x？答案

【问题标题】：How can I retrieve x from this Ax=b?如何从此 Ax=b 中检索 x？
【发布时间】：2020-12-05 08:08:48
【问题描述】：

我正在研究逆问题，我试图逆矩阵 A，但它有“秩不足”。矩阵 A 也是非方阵。所以，我尝试了 b 次 pinv(A)，但它产生了不正确的解决方案。

我想知道可以解决这个问题的方法或函数。

这是 MATLAB 代码

vertical = eye(20);
A=zeros(10,200);
for j=0:9;
    A(j+1,1+20*j:20*j+20)=1;
end

for j=0:9;
    A(11:30,1+20*j:20*j+20)=vertical;
    
end

b=[0 4 4 4 10 10 4 4 4 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 8 8 2 2 2 0];
x=[0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0;
   0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0;
   0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0;
   0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0;
   0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0;
   0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0;
   0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0;
   0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0;
   0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0;
   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

【问题讨论】：

在您的脚本中给出了A、x 和b。你到底想计算什么？ A 是一个 30x200 矩阵，b 是一个 1x30 向量。没有x 和Ax=b。
@m2016b 请不要更改问题中的代码样式。操作员周围的空间是个人选择，我们通常不会强迫这里的人们以这种或另一种方式这样做。
鉴于 A 和 b 的大小，看起来您有 Ax=b' （单引号代表转置）。在 MATLAB 中，您可以使用 x = A \ b.'。
@ThomasSablik 哦，对不起，我错过了转置。
@CrisLuengo Right.

标签： matlab matrix-inverse

【解决方案1】：

您的矩阵和向量的尺寸不正确，因此无法正常工作。 Matlab 中的pinv(A) 有一个称为容差的参数，它会在某个 epsilon 之后截断奇异值。您可以通过这种方式使用截断的 SVD 来求解，您将得到一个近似值。条件编号为 inf，因此首先更正您的脚本，然后将容差设置为 10^(-13) 或其他内容。

【讨论】：

谢谢。我认为这不能完全检索 x。
@Park 假设它们是正确的尺寸，那么它会。另一张海报提到反斜杠运算符 x = A\b' 通常会更好。如果您阅读此scicomp.stackexchange.com/questions/1001/… 它通常会更快，因为它考虑了矩阵的结构。在这种情况下，由于它是病态且非正方形的，它可能无论如何都会使用 SVD。

【解决方案2】：

我认为你应该拥有的是

x = pinv(A)*b'

因为'b'的大小是1x30，而A的大小是30x200

要验证结果，可以试试

>> A*(pinv(A)*b')-b'
ans =

  -9.4369e-16
   1.7764e-15
  -3.5527e-15
            0
  -8.8818e-15
   3.5527e-15
   8.8818e-16
   3.5527e-15
  -2.6645e-15
  -2.2204e-16
  -6.6613e-16
   8.8818e-16
            0
   4.4409e-16
   8.8818e-16
  -2.4425e-15
   1.3323e-15
  -8.8818e-16
   2.2204e-15
  -1.4988e-15
  -3.3029e-15
  -4.4409e-16
            0
   3.5527e-15
            0
            0
  -3.7748e-15
  -2.4425e-15
  -8.8818e-16
   3.0531e-16

【讨论】：

抱歉，这是个糟糕的建议。求解 x 的正确方法是 x = A \ b.'。这可以更加精确和稳健，并且计算效率也更高。