numpy - 用分数填充的矩阵/数组的逆 - 错误

Question

我正在尝试使用 numpy 对表示为 numpy 数组的矩阵执行操作。
我将分数作为这些矩阵中的元素。

似乎一切正常，直到我尝试找到逆向。

这给出了一个错误。

这是 numpy 中的错误吗？

我的意思是，如果 numpy 允许我们将这样的分数填充矩阵相乘，那么它应该也可以让我们找到逆矩阵，对吧？

import numpy as np
from fractions import Fraction as F

c = np.array([[F(2),F(-1), F(-1)],[F(3),F(4), F(-2)],[F(3),F(-2), F(4)]])

c @ c

np.dot(c, c)

np.linalg.inv(c)

错误：

---------------------------------------------------------------------------
TypeError                                 Traceback (most recent call last)
<ipython-input-45-5ed58b2836e1> in <module>
----> 1 np.linalg.inv(c)

<__array_function__ internals> in inv(*args, **kwargs)

C:\Programs\Anaconda3\lib\site-packages\numpy\linalg\linalg.py in inv(a)
    544     signature = 'D->D' if isComplexType(t) else 'd->d'
    545     extobj = get_linalg_error_extobj(_raise_linalgerror_singular)
--> 546     ainv = _umath_linalg.inv(a, signature=signature, extobj=extobj)
    547     return wrap(ainv.astype(result_t, copy=False))
    548 

TypeError: No loop matching the specified signature and casting was found for ufunc inv

我的 numpy 版本是

1.19.2

Answer 1

我同意另一个答案。 Numpy 用于数字，这意味着使用浮点数进行不完美的计算。如果你想做精确的又名符号计算。您应该改用 sympy 。例如。试试：

import sympy
from fractions import Fraction as F

c = sympy.Matrix([[F(2),F(-1), F(-1)],[F(3),F(4), F(-2)],[F(3),F(-2), F(4)]])
c.inv()

Answer 2

不确定您是否可以将其称为错误，但似乎正在按预期工作。 Numpy 的 linalg 模块是 Scipy 的 linalg 模块的轻量版； Numpy 仅支持浮点数或复杂浮点数（编辑：除非您使用 Numpy 内部调用的“精确类型”，如 int；那些是强制转换的）。甚至 Scipy 也不支持分数。来自Scipy's linalg (emphasis mine)的源码：

许多 SciPy 线性代数函数确实支持任意数组 输入参数。常见不支持输入的示例包括 包含 inf/nan、稀疏矩阵表示、和 具有复杂元素的矩阵

阅读源码，Numpy 限制性更强； Scipy 接受任何调用np.array(A) 确实不 生成具有dtype object 的数组。这是否有意义是主观的；似乎有一些非平凡的兼容性（与现有的 C 算法）或性能权衡以允许数组中的一般对象。

Answer 3

In [291]: import fractions
In [292]: F = fractions.Fraction
In [293]: c = np.array([[F(2),F(-1), F(-1)],[F(3),F(4), F(-2)],[F(3),F(-2), F(4)]])
     ...: 
In [294]: c
Out[294]: 
array([[Fraction(2, 1), Fraction(-1, 1), Fraction(-1, 1)],
       [Fraction(3, 1), Fraction(4, 1), Fraction(-2, 1)],
       [Fraction(3, 1), Fraction(-2, 1), Fraction(4, 1)]], dtype=object)
In [295]: c@c
Out[295]: 
array([[Fraction(-2, 1), Fraction(-4, 1), Fraction(-4, 1)],
       [Fraction(12, 1), Fraction(17, 1), Fraction(-19, 1)],
       [Fraction(12, 1), Fraction(-19, 1), Fraction(17, 1)]], dtype=object)

这是因为c 的元素支持简单的乘法和加法。

In [298]: c[0,0]*c[1,1]
Out[298]: Fraction(8, 1)

比较这个对象dtype矩阵乘法的时间：

In [300]: timeit c@c
123 µs ± 523 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)

float dtype 乘法的时间：

In [301]: c1=c.astype(float)
In [302]: c1
Out[302]: 
array([[ 2., -1., -1.],
       [ 3.,  4., -2.],
       [ 3., -2.,  4.]])
In [303]: timeit c1@c1
4.19 µs ± 28.7 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

使用数字 dtype，@/dot 将任务传递给快速编译的库。对于 object dtype，它必须执行较慢的 python 级计算。

inv 有快速数值模式，但没有实现慢速对象版本。

使用 object dtype 输入完整的错误消息是：

UFuncTypeError: Cannot cast ufunc 'inv' input from dtype('O') to dtype('float64') with casting rule 'same_kind

使用浮点数据类型：

In [304]: np.linalg.inv(c1)
Out[304]: 
array([[ 0.2       ,  0.1       ,  0.1       ],
       [-0.3       ,  0.18333333,  0.01666667],
       [-0.3       ,  0.01666667,  0.18333333]])
In [305]: timeit np.linalg.inv(c1)
16.4 µs ± 339 ns per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)

将其与https://stackoverflow.com/a/69239281/901925 提供的sympy 版本进行比较

In [308]: import sympy
In [309]: from fractions import Fraction as F
     ...: 
     ...: c = sympy.Matrix([[F(2),F(-1), F(-1)],[F(3),F(4), F(-2)],[F(3),F(-2), F(4)]])
In [310]: c
Out[310]: 
Matrix([
[2, -1, -1],
[3,  4, -2],
[3, -2,  4]])
In [311]: c.inv()
Out[311]: 
Matrix([
[  1/5,  1/10,  1/10],
[-3/10, 11/60,  1/60],
[-3/10,  1/60, 11/60]])
In [312]: timeit c.inv()
801 µs ± 23.2 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)

scipy 更明确

In [315]: from scipy import linalg
In [316]: linalg.inv(c)
Traceback (most recent call last):
  File "<ipython-input-316-48147545516b>", line 1, in <module>
    linalg.inv(c)
  File "/usr/local/lib/python3.8/dist-packages/scipy/linalg/basic.py", line 939, in inv
    a1 = _asarray_validated(a, check_finite=check_finite)
  File "/usr/local/lib/python3.8/dist-packages/scipy/_lib/_util.py", line 296, in _asarray_validated
    raise ValueError('object arrays are not supported')
ValueError: object arrays are not supported