这是哪种矩阵行列式计算方法？

Question

这是 John Carmack 用来计算 4x4 矩阵行列式的方法。根据我的调查，我确定它一开始就像拉普拉斯展开定理，但随后继续计算 3x3 行列式，这似乎与我读过的任何论文都不一致。

    // 2x2 sub-determinants
    float det2_01_01 = mat[0][0] * mat[1][1] - mat[0][1] * mat[1][0];
    float det2_01_02 = mat[0][0] * mat[1][2] - mat[0][2] * mat[1][0];
    float det2_01_03 = mat[0][0] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][0];
    float det2_01_12 = mat[0][1] * mat[1][2] - mat[0][2] * mat[1][1];
    float det2_01_13 = mat[0][1] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][1];
    float det2_01_23 = mat[0][2] * mat[1][3] - mat[0][3] * mat[1][2];

    // 3x3 sub-determinants
    float det3_201_012 = mat[2][0] * det2_01_12 - mat[2][1] * det2_01_02 + mat[2][2] * det2_01_01;
    float det3_201_013 = mat[2][0] * det2_01_13 - mat[2][1] * det2_01_03 + mat[2][3] * det2_01_01;
    float det3_201_023 = mat[2][0] * det2_01_23 - mat[2][2] * det2_01_03 + mat[2][3] * det2_01_02;
    float det3_201_123 = mat[2][1] * det2_01_23 - mat[2][2] * det2_01_13 + mat[2][3] * det2_01_12;

    return ( - det3_201_123 * mat[3][0] + det3_201_023 * mat[3][1] - det3_201_013 * mat[3][2] + det3_201_012 * mat[3][3] );

有人可以向我解释这种方法是如何工作的，或者给我指出一个使用相同方法的好文章吗？

注意
如果重要的话，这个矩阵是行主要的。

Answer 1

这似乎是涉及使用未成年人的方法。数学方面可以在维基百科上找到

http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant#Properties_characterizing_the_determinant

基本上，您将矩阵简化为更小且更易于计算的矩阵，并将这些结果相加（它涉及一些 (-1) 因素，应在我链接到的页面上进行描述）。

Answer 2

他使用标准公式，您可以在其中以伪代码进行计算，

det(M) = sum(M[0, i] * det(M.minor[0, i]) * (-1)^i)

这里minor[0, i] 是一个矩阵，您可以通过从原始矩阵中删除0-th 行和i-th 列来获得矩阵，(-1)*i 代表i-th power of -1。

如果您采用不同的行或在列上进行循环，则相同的（最多一个整体符号）公式将起作用。如果您考虑det 的定义方式，那就不言自明了。注意 2 矩阵如何变成：

det(M) = M[0, 0] * M[1, 1] * (+1) + M[0, 1] * M[1, 0] * (-1)

或者，按第 1 行而不是第 0 行，

-det(M) = M[1, 0] * M[0, 1] * (+1) + M[1, 1] * M[0, 0] * (-1)

——你应该认识2x2矩阵行列式的标准公式。

同样，对于由N = [[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]] 组成的 3 矩阵，这会导致公式

det(N) = a * det([[e, f], [h, i]]) - b * det([[d, f], [g, i]]) + c * det([[d, e], [g, h]])

这当然成了教科书式

a*e*i + b*f*g +  c*d*h - c*e*g - a*f*h - b*d*i

一旦您展开每个 2x2 行列式。

现在，如果您采用 4 矩阵 X，您将看到要计算 det(X)，您需要计算 4 个小数的行列式，每个小数是一个 3x3 矩阵；但您也可以进一步扩展它们，这样您就可以得到 6 个带有一些系数的 2x2 矩阵的行列式。你真的应该自己尝试一下，类似于上面的3x3 矩阵。