用于快速乘以非常大的数字的 Java 库

Question

我正在编写一个程序，该程序需要在一个点上乘以非常大的数字（百万位）。任何人都可以建议一个用于快速乘法大数的java库吗？我找到了this，但我不确定这是否是正确的解决方案，所以我正在尝试寻找另一个尝试。

Answer 1

您链接到的解决方案 — Schönhage-Strassen — 确实是一种使非常大的 BigInteger 相乘更快的好方法。

由于开销很大，对于小得多的 BigInteger，它并不会更快，因此您可以使用它，递归地降低到某个阈值（您必须凭经验找出该阈值是什么），然后使用 BigInteger 自己的乘法，它已经实现了 Toom-Cook 和 Karatsuba 分治算法（从 Java 8，IIRC 开始），还递归地降低到某些阈值。

忘记告诉你使用 Karatsuba 的答案。 Java 不仅已经实现了这一点，而且更快（对于非常大的 BigIntegers）Toom-Cook 算法，它也慢了很多（对于如此巨大的价值）比 Schönhage-Strassen。

结论

再次：对于小值，使用简单的教科书乘法（但使用 - 无符号 - 整数作为“数字”或“大数字”）。对于更大的值，请使用 Karatsuba（这是一种递归算法，将大的 BigInteger 分解为几个较小的值并将它们相乘——一种分而治之的算法）。对于更大的 BigInteger，请使用 Toom-Cook（也是一种分而治之的方法）。对于非常大的 BigInteger，请使用 Schönhage-Strassen（IIRC，一种基于 FFT 的算法）。请注意，Java 已经为不同大小的 Biginteger 实现了教科书（或“基本情况”）、Karatsuba 和 Toom-Cook 乘法。它还没有实现 Schönhage-Strassen。

但即使进行了所有这些优化，非常大的值的乘法往往很慢，所以不要指望奇迹。

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注意：

您链接到的 Schönhage-Strassen 算法会还原为 Karatsuba 以获得较小的子产品。从那时起（2012 年圣诞节），不再使用 Karatsuba，而是使用 BigInteger 中大大改进的实现，并直接使用 BigInteger::multiply()，而不是 Karatsuba。您可能还必须更改使用的阈值。

Answer 2

就我的思维能力而言，Karatsuba Algorithm 可以通过这种方式实现：

This 链接提供了相同的 C++ 实现，这也可以很容易地用于类似 Java 的实现。

import java.math.BigInteger;
import java.util.Random;

class Karatsuba {
    private final static BigInteger ZERO = new BigInteger("0");

    public static BigInteger karatsuba(BigInteger x, BigInteger y) {

        // cutoff to brute force
        int N = Math.max(x.bitLength(), y.bitLength());
        if (N <= 2000) return x.multiply(y);                // optimize this parameter

        // number of bits divided by 2, rounded up
        N = (N / 2) + (N % 2);

        // x = a + 2^N b,   y = c + 2^N d
        BigInteger b = x.shiftRight(N);
        BigInteger a = x.subtract(b.shiftLeft(N));
        BigInteger d = y.shiftRight(N);
        BigInteger c = y.subtract(d.shiftLeft(N));

        // compute sub-expressions
        BigInteger ac    = karatsuba(a, c);
        BigInteger bd    = karatsuba(b, d);
        BigInteger abcd  = karatsuba(a.add(b), c.add(d));

        return ac.add(abcd.subtract(ac).subtract(bd).shiftLeft(N)).add(bd.shiftLeft(2*N));
    }


    public static void main(String[] args) {
        long start, stop, elapsed;
        Random random = new Random();
        int N = Integer.parseInt(args[0]);
        BigInteger a = new BigInteger(N, random);
        BigInteger b = new BigInteger(N, random);

        start = System.currentTimeMillis(); 
        BigInteger c = karatsuba(a, b);
        stop = System.currentTimeMillis();
        StdOut.println(stop - start);

        start = System.currentTimeMillis(); 
        BigInteger d = a.multiply(b);
        stop = System.currentTimeMillis();
        StdOut.println(stop - start);

        StdOut.println((c.equals(d)));
    }
}

希望这能很好地回答您的问题。