为什么这个加法代码（使用按位运算）在java中工作

Question

public int add(int a, int b){  
        while (b != 0){
            int carry = (a & b) ;

            a = a ^ b; 

            b = carry << 1;
        }
        return a;
 }

这是使用按位运算计算两个整数之和的代码。

如果我手动/以编程方式计算，我发现它适用于每个整数。 但我无法弄清楚a 和carry 的中间值之间的任何关系。 为什么进位乘以 2 分配给b？

PS：我在这里找到了一个答案 Bitwise Multiply and Add in Java 但这是用于乘法而不是用于加法。

Answer 1

小学时第一次回忆加法。例如26 + 147 = 173。从 6+7=13 开始，因此将 3 放入总和中，然后进位，依此类推 - 即：添加两位数并在必要时进位。

carry:  1
a:      26
b:     147
-----------------
sum:   173

代码在二进制数上的作用几乎相同，但稍作调整。它不是一次占据一个数字位置，而是一次完成。代码不是在 i 中包含来自位置 i-1 的进位（即在添加 2 和 4 时包含 1），而是在第二次迭代中添加所有龋齿。所以它的作用是：026+147 = 163 + 010 = 173 + 000

对于二进制数 a=6=00110 和 b=7=00111 你得到

首先你找到carry；这是a 和b 都设置了位的所有位置：int carry = (a & b) ;

然后 id 进行数字相加，忽略进位，并将其存储在 a 中：a = a ^ b; 这将在示例中响应 6+7=3。

最后一部分将进位移动到下一个数字位置，即确保示例中的 1 进位从 1“移动”到 10：carry << 1;

只要有未包含在总和中的进位，while 循环就会继续。

Answer 2

变量b 和carry 用于“携带”额外的数字。例如，在二进制中，1+1 = 10，但10 是两位数。 10 中的 1 必须放在左边的下一位。这就是while() 循环在您的程序中所做的。只要在同一位置有1 数字（a & b），carry 就设置为b 的异或（a ^ b）。仅当 a 或 b（但不是两者）的值为 2 时，这给每个数字的值 1。（在进行二进制算术时，这正是发生的情况；1+1 = 10，所以由于两个 @ 987654337@s 被加在一起，那个地方是0)。之后，carry << 1（carry*2 或carry 左移一位）分配给b。然后循环重复使用a 和b 的新值，直到b 为零（这意味着carry 也为零）。

Answer 3

一定要把这里的所有数字都考虑成二进制。

您通常希望在此类代码中找到“循环不变量”。在这种情况下，您希望看到 a + b 在每次迭代后都保持不变。因此，如果 b 变为 0 并且我们离开循环，则 a 必须等于原始 a 和 b 的总和。下一步是确保循环最终终止。我们稍后会回到这个，首先让我们找出不变的部分，在这种情况下使用相等：

a + b = (a ^ b) + 2 * (a & b)

在循环中，新 a 将等于旧 a ^ b，新 b 将是 2 * (a & b)，这与 (a & b)

我将介绍两种解决方案。 在这两种情况下，我都会使用一个简单的事实：

x + y = x ^ y

只要 x 和 y 没有设置公共位。

正式看到这一点的简短方法是注意：

a + b = a + b - 2(a & b) + 2(a & b)
= (a - (a & b)) + (b - (a & b)) + 2(a & b)
= (a - (a & b)) ^ (b - (a & b)) + 2(a & b)
= (a ^ (a & b)) ^ (b ^ (a & b)) + 2(a & b)
= a ^ b + 2(a & b)

冗长的解决方案使用如下数学归纳法（某些人可能认为这有点矫枉过正，但在我看来，这是值得了解的）：

首先确保它在 a 和 b 都等于 0 的情况下工作（您也可以尝试使用一位数来解释该算法的工作原理）。使用数学归纳法时千万不要忘记这一步。

接下来，假设这适用于 n-1 位数字，我们必须证明它也适用于 n 位数字。现在写 a = 2a' + a'' = 2a' ^ a'' 和 b = 2b' + b'' = 2b' ^ b'' 其中 a'', b'' 在集合 {0, 1} 中（那么 2a' 和 a'' 没有设置公共位！）。 那么：

(a ^ b) + 2(a & b) = (2a' ^ a'' ^ 2b' ^ b'') + 2((2a'' ^ a') & (2b'' ^ b')) =
(2a' ^ 2b') ^ (a'' ^ b'') + 2((2a'' & 2b'') ^ (a'' & b'')) = 
(2a' ^ 2b') + (a'' ^ b'') + 2((2a'' & 2b'') + (a'' & b'')) =
(2a' ^ 2b') + 2((2a'' & 2b'') + (a'' ^ b'') + (a'' & b'')) =
2a' + 2b' + a'' + b'' = a + b

现在最后要检查的是这个循环是否真的终止了。 要看到这一点，请使用以下事实：在每个步骤中，a 和 b 都是非负数，并且在每次迭代后仍然如此。

因此我们得到了 b n >= 2*n > 2**log_2(a+ b) = a+b 与假设相矛盾。 这里的**当然是取幂。

在 Java 中，此算法也适用于负整数。这是因为负整数在 Java 和大多数编程语言中的存储方式 在这里，有符号数和无符号数的加法和减法在位上的工作方式相同，因此适用于无符号数的代码也适用于有符号数。

Answer 4

它依赖于 1+1=10（按位）这一事实，即“如果加法意味着进位，则 sum current 的数字列必须为零”。将“

这是对代码的简单描述。

carry = Ignore those bits that will produce carry bits (because their sum in the current "column"  will be 0), but collect the carry bits. 
a = Add those bits of a and b that won't produce a carry bit (i.e. use XOR)
b = Carry the carry bits one column left.

Answer 5

是的，就像这里的许多答案一样，它就像小学数学一样，可以将两个数字相加。但以二进制方式。

1. a&b 给了我们什么？它在所有地方都提供了会触发结转的地方。例如，添加 1101 和 0101，只有 右触发器的第 0 和第 2 位置向前移动。所以只有这样 将是 a&b 获得的 0101。但是在正常加法中进行进位时，我们会移动 还剩一个位置。这就是为什么在第三条代码语句中，进位移动了一位 左边的位置。所以进位变成了01010。

2. a^b 给了我们什么？上面未计算的任何位都包括在内。在上述步骤中，我们包括了第 0 位和第 2 位的影响。 现在我们需要包含其他具有 1 的位。这将是第 3 位 权利给予是1000。分配给a的值变成1000。

现在我们要做的就是使用上述相同的步骤再次添加它们。

1. 01010和01000相加。只有共同的一个是第3位，所以a&b给出01000，移位后进位最终变成10000。

2. 要计算剩余位，a^b 变为 00010 并分配给 a。

循环继续。因为上面的进位还不是零。

5. 添加 10000 和 00010。没有共同的 1 位。所以进位变成了0。

6. a^b 变为 10010 并分配给 a。

7. 由于进位为零，a 中的任何内容，即 10010 都将成为答案！

通过例子，更小的例子更好地理解。