以下提供了问题的另一种表述，作为对二元矩阵的列和向量选择的优化，该二元矩阵的列和向量最大化给定fill 的可变性。提供了该公式有效性的非正式论点以及解决该公式的结果算法。生成的算法与 OP 的断言一致
像这样按列填充矩阵可以保持边缘列总数的最大可变性
首先，将fill 定义为n_row 中n_col 二进制矩阵m 中1 的数量。从问题陈述的约束条件来看，m 是一个所有行和列之和都大于零的二进制矩阵，fill 是[max(n_row, n_col),n_row*n_col] 范围内的整数。
那么问题是对于fill 范围内[max(n_row, n_col),n_row*n_col] 的给定值，找到最大值
sd(colSums(m))/mean(colSums(m))
在所有m 中，m 是一个二进制矩阵，其中fill 的数量为1，并且所有行和列的总和都大于零。
我们注意到，最好根据m 的列和的向量而不是m 本身来指定此优化问题的域。这是因为存在不同的m 具有相同的列和向量，因此存在相同的目标值。将列和的向量表示为x，上述优化问题可以重述为最大化问题之一：
sd(x)/mean(x)
这样x 的每个元素都是[1, n_row] 范围内的整数，而sum(x) 是fill。
此外，由于sum(x) 被限制为等于fill，因此对于给定的fill，分母项mean(x) 在所有x 上都是恒定的。因此，要最大化的等价目标函数就是sd(x) 或等价于x 的方差。
为了使x 的方差最大化，我们需要选择x，使其值之间的差异最大化，同时仍然满足x 的约束。在这里，我们可以针对fill 归纳思考这个问题。假设对于给定的fill，我们有x 的解决方案，它在满足其约束的同时最大化x 的方差。问题变成了：当我们将fill 增加到fill + 1 时，最大化其方差的新x 是什么？因为我们有sum(x)=fill 和x 中的每个元素都是整数的约束，递增fill 意味着我们必须递增x 的一个且仅一个元素。暂时放宽对x 中每个元素的上限约束（即，x[i] <= n_row 用于[1,n_col] 中的所有i），那么问题就变成了：x 中的哪个元素要增加以最大化增加x 的方差。对于这个问题的答案，我们可以看var(x)的泰勒级数展开：
var(x + dx) = var(x) + gradient(var(x)) %*% dx + 1/2 * t(dx) %*% Hessian(var(x)) %*% dx
其中dx 是长度为n_col 的向量，其中一个元素等于1，所有其他元素等于0（即指示向量）。由于var(x) 在x 中是二次的，所以二阶展开就足够了。此外，由于dx 是指示向量，因此只有 Hessian 矩阵的对角元素很重要。这些由以下人员提供：
gradient(var(x))[i] = 2*(x[i]-mean(x))/(n_col-1), for all i in [1,n_col]
Hessian(var(x))[i,i] = 2/n_col , for all i in [1,n_col]
由于 Hessian 的所有对角项都相同，因此泰勒级数的二阶项对于 dx 的任何选择都是相同的。因此，只有一阶项在确定要增加 x 中的哪个元素以使 x 的方差增加最大化时很重要。从梯度项可以看出，我们应该选择增加x中当前值x[i]最大的i-th元素，以最大化x的方差增加。现在，我们对x 的每个元素重新引入上限约束。然后，最佳选择是增加x 中具有最大当前值x[i] < n_row 的i-th 元素。请注意，如果x 中有多个这样的元素具有相同的最大值x[i] < n_row，那么选择其中任何一个都会导致x 的方差最大增加相同。
到目前为止，我们所展示的是，给定 fill 和 x 的解决方案，在满足其约束的同时最大化 x 的方差，我们有一个规则 dx 最大化增量增量x 与 fill + 1 的方差。仍有待证明该规则会产生一个新的x，它是最佳x，它使新fill + 1 的x 的方差最大化。我们现在通过矛盾来证明这一点。具体来说，如果这个新的x 没有使fill + 1 的x 的方差最大化，那么必须存在另一个fill 的列和向量x_1 和一个不同的规则dx_1 这样
var(x_1 + dx_1) > var(x + dx)
但是，由于 x 最大化 var(x) 为 fill 并且梯度和 Hessian 方程适用于任何 x，我们有：
var(x_1 + dx_1) = var(x_1) + gradient(var(x_1)) %*% dx_1 + 1/2 * t(dx_1) %*% Hessian(var(x_1)) %*% dx_1
<= var(x_1) + 2*(max(x_1)-mean(x_1))/(n_col-1) + constant
<= var(x) + 2*(max(x)-mean(x))/(n_col-1) + constant
= var(x + dx)
因此矛盾。为了更清楚地解释这些步骤：
- 从第 1 步到第 2 步，
dx_1x_1 的最佳选择是增加 x_1 中的最大元素并因此增加 gradient(var(x_1)) %*% dx_1 <= 2*(max(x_1)-mean(x_1))/(n_col-1) 的那个。此外，对于给定的fill，所有x 和dx 的二阶项都是常数，因此我们简单地将其声明为constant。
- 从第 2 步到第 3 步，我们有 (i)
var(x_1) <= var(x)，我们假设 x 在 fill 处最大化方差，(ii) gradient(var(x)) %*% dx = 2*(max(x)-mean(x))/(n_col-1) 最优规则 dx 在 fill , 和 (iii) max(x_1) <= max(x) 假设 x 最大化 fill 处的方差。要查看后者，请考虑fill-1 的列和x_-1 的共同前驱向量。将x_-1 递增到x 和x_1 之间的规则差异只是x_-1 中要递增的元素的不同选择。从x_-1处方差的泰勒级数展开，很明显x_-1中的元素选择要递增到x必须大于或等于要到x_1，因为@ 987654446@。因此，max(x_1) <= max(x)。现在将此推理扩展到 任何 列和的公共向量在以前的一些 fill-k >= max(n_row, n_col)，包括初始的 fill，其中列和的初始向量都是 1 的。然后，对于一条路径，选择上面定义的最优增量规则以达到x；而对于另一条路径，选择增量规则的任意路径到达x_1。由于最优规则总是在每一步增加状态的最大元素（受限于上限），很明显再次max(x_1) <= max(x)。
最后，为了完成数学归纳，我们从初始填充开始，其中x 是所有1 的。这对var(x) 进行了微不足道的优化，因为在给定初始填充的情况下，x 没有其他选择。现在，最佳增量规则dx 是选择x 的第一个元素进行增量，因为所有元素都是相等的。生成的 x + dx 微乎其微地最大化初始填充的方差加一，因为增加 x 的任何其他元素将导致相同的方差。
上述论点立即建议使用以下算法在列和向量中分配 fill 的值：
- 循环遍历列和
x的向量中的每个元素。
- 对于每个
i-th 元素x[i] <- min(n_row, fill - (ncol_-i))。请注意，我们从填充中减去(n_col-i)，以便我们可以保留这些以至少用1 填充列和向量的其余元素，并且我们将数量限制为n_row 以满足问题的约束。
- 更新
fill <- fill - x[i]
这个算法和相关的参数验证了 OP 的断言
像这样按列填充矩阵可以保持边缘列总数的最大可变性
在 R 中，代码如下：
foo <- function(n_col, n_row, fill) {
## preallocate the vector of column sums x and initialize to NA
x <- rep(NA, n_col)
for (i in seq_len(n_col)) {
x[i] <- pmin.int(n_row, fill-(n_col-i))
fill <- fill - x[i]
}
## compute the variability given the vector of column sums x
sd(x)/mean(x)
}
认识到循环中fill 的重复递减可以用cumsum 替换，以上简化为：
foo <- function(n_col, n_row, fill) {
x <- pmin.int(pmax.int(cumsum(c(fill-n_col+1,rep(-n_row+1,n_col-1))),1),n_row)
## compute the variability given the vector of column sums x
sd(x)/mean(x)
}
使用这个函数，我们恢复 OP 的结果：
n_col=5
n_row=5
variability <- sapply(max(n_col,n_row):(n_col*n_row), function(fill) foo(n_col, n_row, fill))
print(variability)
## [1] 0.0000000 0.3726780 0.6388766 0.8385255 0.9938080 0.8660254 0.8131156 0.8122329 0.8426501
##[10] 0.7319251 0.6666667 0.6404344 0.6443795 0.5414886 0.4707512 0.4330127 0.4259177 0.3049184
##[19] 0.1944407 0.0931695 0.0000000