使用 Python 的耦合微分方程

Question

我正在尝试使用 python 求解测地线轨道方程系统。它们是耦合的常方程。我尝试了不同的方法，但它们都产生了错误的形状（在绘制 r 和 phi 时，形状应该是一些周期函数）。关于如何做到这一点的任何想法？ 这是我的常量

G = 4.30091252525 * (pow(10, -3)) #Gravitational constant in (parsec*km^2)/(Ms*sec^2)
c = 0.0020053761 #speed of light , AU/sec
M = 170000 #mass of the central body, in solar masses
m = 10 #mass of the orbiting body, in solar masses
rs = 2 * G * M / pow(c, 2) #Schwarzschild radius
Lz= 0.000024 #Angular momemntum
h = Lz / m #Just the constant  in equation
E= 1.715488e-007 #energy

初始条件为：

Y(0) = rs
Phi(0) = math.pi

轨道方程

我尝试这样做的方式：

def rhs(t, u):
    Y, phi = u
    dY = np.sqrt((E**2 / (m**2 * c**2) - (1 - rs / Y) * (c**2 + h**2 / Y**2)))
    dphi = L / Y**2
    return [dY, dphi]

Y0 = np.array([rs,math.pi])
sol = solve_ivp(rhs, [1, 1000], Y0, method='Radau', dense_output=True)

Answer 1

您似乎正在查看以史瓦西引力运动的物体的测地线方程的不变平面中的空间坐标。

可以使用许多不同的方法，尽可能多地保留模型的基本几何结构，例如辛几何积分器或微扰理论。正如 Lutz Lehmann 在 cmets 中指出的那样，“solve_ivp”的默认方法默认使用 Dormand-Prince (4)5 步进器，该步进器利用外推模式，即 5 阶步进，步长选择由4阶误差估计。

警告：Y 的初始条件等于 Schwarzschild 的半径，因此这些方程可能会失败或需要特殊处理（尤其是方程的时间分量，这里没有包括在内！）这可能是你必须切换到不同的坐标，这消除了均匀地平线上的奇点。此外，解可能不是周期曲线，而是准周期，因此它们可能不会很好地接近。

为了快速而肮脏的处理，但可能是一个相当准确的处理，我会区分第一个方程

(dr / dtau)^2 = (E2_mc2 - c2) + (2*GM)/r - (h^2)/(r^2) + (r_schw*h^2)/(r^3)

关于正确的时间tau，然后在两边抵消dr / dtau关于r的一阶导数，最后得到一个方程，左边的半径r具有二阶导数.然后将这个二阶导数方程变成r及其变化率v的一对一阶导数方程，即

dphi / dtau = h / (r^2)
  dr / dtau = v
  dv / dtau = - GM / (r^2) + h^2 / (r^3) - 3*r_schw*(h^2) / (2*r^4)

并根据r 的原始方程及其一阶导数dr / dtau 计算变化率v = dr / dtau 的初始值，即我将求解v 与r=r0 的方程：

(v0)^2 = (E2_mc2 - c2) + (2*GM)/r0 - (h^2)/(r0^2) + (r_schw*h^2)/(r0^3)

也许像这样的某种 python 代码可能会起作用：

import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import solve_ivp
#from ode_helpers import state_plotter

# u = [phi, Y, V, t] or if time is excluded 
# u = [phi, Y, V]
def f(tau, u, param):
    E2_mc2, c2, GM, h, r_schw = param
    Y = u[1]
    f_phi = h / (Y**2)
    f_Y = u[2] # this is the dr / dt auxiliary equation
    f_V =  - GM / (Y**2) + h**2 / (Y**3) - 3*r_schw*(h**2) / (2*Y**4)
    #f_time = (E2_mc2 * Y) / (Y - r_schw) # this is the equation of the time coordinate
    return [f_phi, f_Y, f_V] # or [f_phi, f_Y, f_V, f_time] 

# from the initial value for r = Y0 and given energy E,  
# calculate the initial rate of change dr / dtau = V0
def ivp(Y0, param, sign):
    E2_mc2, c2, GM, h, r_schw = param
    V0 = math.sqrt((E2_mc2 - c2) + (2*GM)/Y0 - (h**2)/(Y0**2) + (r_schw*h**2)/(Y0**3))
    return sign*V0

G = 4.30091252525 * (pow(10, -3)) #Gravitational constant in (parsec*km^2)/(Ms*sec^2)
c = 0.0020053761 #speed of light , AU/sec
M = 170000 #mass of the central body, in solar masses
m = 10 #mass of the orbiting body, in solar masses
Lz= 0.000024 #Angular momemntum
h = Lz / m #Just the constant  in equation
E= 1.715488e-007 #energy

c2 = c**2
E2_mc2 = (E**2) / (c2*m**2)
GM = G*M
r_schw = 2*GM / c2

param = [E2_mc2, c2, GM, h, r_schw]
Y0 = r_schw
sign = 1 # or -1
V0 = ivp(Y0, param, sign)

tau_span = np.linspace(1, 1000, num=1000)
u0 = [math.pi, Y0, V0]
    
sol = solve_ivp(lambda tau, u: f(tau, u, param), [1, 1000], u0, t_eval=tau_span)

仔细检查方程，错误和不准确是可能的。