寻找一种更智能的方法来随机拆分一维值范围

Question

我需要一种将一维值范围（即连续整数）随机拆分为 k 个部分的方法。从技术上讲，只需使用伪随机生成器来选择分割点就可以完成工作。然而，它允许范围非常小（相反非常大）的可能性。我一直在寻找一种无需使用硬编码范围限制即可普遍解决此问题的方法。

我找到了这个article。它与二维地形生成有关。但它面临同样的问题并提出了解决方案。您可以查看 Polygons 部分，其中作者提到了 Lloyd 松弛。整个事情的来源是 Voronoi 图，它适用于 2d 范围。此外，如果您查看构建劳埃德松弛所需的 Voronoi 图的算法，它的开头是：

令 *(z) 为变换 *(z) = (zx, zy + d(z))，其中 d(z) 是抛物线，z 处最小值

当然，我在 1d 中没有抛物线。

在我的一维范围的情况下，我不清楚如何获得相同的结果。或者也许有不同/更好的方法来解决这个问题？

Answer 1

我没有深入了解他的代码细节，但他在 2d 中对 Voronoi 图所做的，然后选择多边形的中心作为新点并重新制作 Voronoi 图给了我这个想法：

1. Randomly select your points
2. Compute midways between your points
    -> The two midways on the two sides of each point, is like
       its Voronoi polygon in the Voronoi diagram
    -> So let's call the range between these two "midways" a Voronoi range!
3. Replace each point by the center of its Voronoi range
4. If you want the values to be less random, loop back to step 2
5. The ranges you are looking for are the Voronoi ranges of the last results.

让我们举个例子。为简单起见，假设我们正在处理连续范围。

所以你从范围 [0, 80] 开始，你想把它分成 15 个范围。

假设排序后的 15 个随机数是（由 C 程序生成：）

1 5 12 17 19 21 26 31 38 47 52 54 56 67 71

中点是：

1   5   12   17   19   21   26   31   38   47   52   54   56   67   71
  ^   ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^
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  3  8.5 14.5  18   20  23.5 28.5 34.5 42.5 49.5  51   55  61.5  69

所以你的范围变成：

[0, 3], [3, 8.5], [8.5, 14.5], [14.5, 18], [18, 20], 
[20, 23.5], [23.5, 28.5], [28.5, 34.5], [34.5, 42.5], [42.5, 49.5],
[49.5, 51], [51, 55], [55, 61.5], [61.5, 69], [69, 80]

如果您想将其可视化，它看起来像这样（我可以在文本中显示它）：

+..+.....+.....+..+.+...+....+.....+.......+......++...+......+......+.........+

. 显示从 0 到 80 的数字，+ 显示 Voronoi 范围的边缘。

现在，让我们应用第 3 步。

1   5   12   17   19   21   26   31   38   47   52   54   56   67   71
  ^   ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^
  |   |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |    |
0 3  8.5 14.5  18   20  23.5 28.5 34.5 42.5 49.5  51   55  61.5  69 80
 ^  ^   ^     ^   ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^    ^     ^  ^
 |  |   |     |   |    |    |    |    |    |    |    |    |     |  |
1.5 | 11.5  16.25 19 21.75 26  31.5 38.5  46  50.25 53  58.25 65.25|
   5.75                                                          74.5

现在让我们看看 Voronoi 范围在新点的情况下是什么样子的：

1.5  5.75 11.5  16.25  19  21.75 26  31.5 38.5  46  50.25 53  58.25 65.25 74.5
   ^     ^    ^       ^   ^     ^   ^    ^    ^    ^     ^    ^    ^     ^
   |     |    |       |   |     |   |    |    |    |     |    |    |     |
 3.625 8.625 13.875 17.625|  23.875 |   35  42.25 48.125 | 55.625 61.75 69.875
                        20.375    28.75               51.625

现在你的范围是（它开始看起来很难看，但请耐心等待）

[0, 3.625], [3.625, 8.625], [8.625, 13.875],
[13.875, 17.625], [17.625, 20.375], [20.375, 23.875],
[23.875, 28.75], [28.75, 35], [35, 42.25],
[42.25, 48.125], [48.125, 51.625], [51.625, 55.625],
[55.625, 61.75], [61.75, 69.875], [69.875, 80]

那么现在让我们看看这个点的分布是怎样的：

+...+....+....+...+..+..+....+.....+.......+....+...+...+.....+.......+........+

现在让我们比较两个分布：

First one 
  |
  V
+..+.....+.....+..+.+...+....+.....+.......+......++...+......+......+.........+
+...+....+....+...+..+..+....+.....+.......+....+...+...+.....+.......+........+
  ^
  |
Second one

看起来更好，不是吗？这正是他在您发现的将 2d Voronoi 多边形应用于 1d 范围的文章中所做的。

（如有任何可能的计算错误，请见谅）