我知道有人问过类似的问题
Choose m elements randomly from a vector containing n elements
Pick N items at random from sequence of unknown length
但我越看越糊涂。
从N个元素中均匀随机选择M个元素
所以我需要从 N 个元素中挑选 M 个元素。而且我还需要使每个元素被选中的概率均匀分布：M/N
我的直觉是
我猜这个解决方案是错误的？ M 被选元素的概率是 1/N, 1/(N-1), ..., 1/(N-M), not M/N, 我说对了吗？
一个可能的正确解决方案是
但我无法计算出每个元素被选中的概率。
谁能证明这个解决方案的概率确实是M/N？
当然我们也可以使用Reservoir sampling，它的概率是M / N。
【问题讨论】：
我认为您的困惑可能是您没有区分选择序列和选择集合。
在您的第一个程序中，仅仅因为您在第一轮中只有1/N 机会选择特定元素，并不意味着您不会在后续轮中选择它。该元素有1/N 机会成为结果中的第一个元素......但它有M/N 机会在some 轮中被选中。所以这行得通。取 M=2，N=4：一个元素被选中的几率是1/4 + (3/4)*(1/3) = 2/4。
至于你的第二个过程，在洗牌之后，每个元素在数组中的位置是均匀分布的，所以有一个M/N 的机会，它的位置等于或小于 M（因此被选中）。所以这也行得通。
【讨论】：
uniformly这个词。我是否希望每个元素都有1/N 被选中的机会或M/N？
A 有1/N 在回合i 中被选中的机会，M/N 总体 在任何 圆形。
A 有1/N 成为第一名的机会，第二名有1/(N-1) * (N-1)/N = 1/N，因为(N-1)/N 是它没有被选为第一名的机会。依此类推，A 有机会 M/N 成为任何选择。对吗？
元素被选中的概率：
First: 1/N;
Second: 1/(N-1) * (1 - 1/N) = 1/N
...
其中(1 - 1/N)是第二个项目在第一步没有被拾取的概率，这是它在第二步被拾取的条件。这里1/N 是在第一步中选择某个元素的概率，(1 - 1/N) - 在第二步中选择的元素在第二步中可供选择的概率。
Third: 1/(N-2) * (1 - 1/N - 1/N) = 1/N
其中(1 - 1/N - 1/N) 是元素在第三步可供选择的概率。
等等。
这里的重点是，对于任何元素，一步选择的概率是1/N。
【讨论】：
虽然 shuffle 方法有效，但还有另一种方法不需要修改原始数组。事实上，您甚至不需要知道总共有多少项。您可以从流中随机选择 M 个项目，而您唯一需要保存的数据是这些 M 个项目的数组。
基本思想是从未知长度的流中挑选单个项目的算法的扩展。同样，您不知道流中有多少项目。所以你总是有一个选定的项目，但你可以随时更改选定的项目。
您从没有选定项目开始，计数为 0。当第一个项目进入时，您增加计数。然后你在 0 到 count-1 范围内选择一个随机数。如果值为 0，则使当前项成为选定项。选择的第一个随机数必须为 0，因为您的范围是 0 到 0。
当你阅读每个项目时，你增加计数，选择随机数，如果选择的随机数为 0，则将当前项目设为选中项目。它看起来像这样：
selected_item = none
count = 0
for each item
count = count + 1
if (random(count) == 0)
selected_item = current_item
这很有效，因为选择当前项目的机会随着每个项目的阅读而降低。也就是说，第一个项目以 1/1 的概率被选中。当第二个项目进来时，您有 1/2 的机会选择它来替换第一个项目。当您收到第三个项目时，您有 1/3 的机会将当前选择的项目替换为新项目。
当您到达流的末尾时，您将给予每个项目均等的被选中机会。
您可以很容易地将其扩展到多个项目。您首先选择进来的前 M 个项目，然后将它们放入您选择的项目数组中。然后，每当有新项目进入时，您会选择一个介于 0 和 count-1 之间的随机数，如果该数字小于 M，那么您将随机用新项目替换所选项目之一。它看起来像这样：
selected_items = array of M items
count = 0
for each item
if (count < M)
selected_items[count] = current_item
else
if (random(count) < M)
// pick a random number from 0 to M-1
// and replace that item with the new item
ix = random(M)
selected_items[ix] = current_item
我在我的博客Random selection 中写了更多详细信息。
【讨论】：