有效地搜索所有元素都大于给定元组的元组答案

【问题标题】：Searching for a tuple with all elements greater than a given tuple efficiently有效地搜索所有元素都大于给定元组的元组
【发布时间】：2013-06-10 23:57:53
【问题描述】：

考虑以下元组列表： [(5,4,5), (6,9,6), (3,8,3), (7,9,8)]

我正在尝试设计一种算法来检查列表中是否存在至少一个元组，其中该元组的所有元素都大于或等于给定的元组（针）。

例如，对于给定的元组 (6,5,7)，算法应该返回 True，因为给定元组中的每个元素都小于列表中的最后一个元组，即 (7,9,8)。但是，对于给定的元组 (9,1,9)，算法应该返回 False，因为列表中没有每个元素都大于给定元组的元组。特别是，这是由于给定元组的第二个元素 1 小于列表中所有元组的第二个元素。

一个简单的算法会一个一个地循环遍历列表中的元组，并循环遍历内部循环中元组的元素。假设有 n 个元组，每个元组有 m 个元素，这将给出 O(nm) 的复杂度。

我正在考虑是否有可能有一种算法来产生具有较低复杂性的任务。允许进行预处理或任何花哨的数据结构来存储数据！

我最初的想法是使用二进制搜索的一些变体，但我似乎无法找到一种数据结构，一旦我们根据第一个元素消除了一些元组，我就不会回到天真的解决方案，这意味着该算法最后也可能是 O(nm)。

谢谢！

【问题讨论】：

check whether [at least one tuple in the list has all corresponding elements greater than or equal to a given tuple (needle) 我没有得到as every element in the given tuple is less than the first tuple - 第二个和最后一个元组严格不小于。
(@WalterTross 我不认为这是那种的错字：以我上述评论中的第一个条件为确定性，应该回答第一针是的，只是不是针对第一个，而是针对第二个（和第四个）元组。）
这个问题在计算几何文献中被称为离线优势报告。有一些以小 m 闻名的好解决方案。

标签： algorithm search data-structures spatial-index

【解决方案1】：

考虑这个问题的 2 元组版本。每个元组 (x,y) 对应于平面上的一个轴对齐矩形，右上角为 (x,y)，右下角为 (-oo,+oo)。该集合对应于这些矩形的并集。给定一个查询点（针），我们只需要确定它是否在联合中。知道边界就足够了。它是一条轴对齐的折线，y 相对于 x 单调不增加：x 方向上的“向下阶梯”。使用任何合理的数据结构（例如，折线上的 x 排序的点列表），很容易在 O(log n) 时间内对 n 个矩形做出决定。不难看出如何在 O(n log n) 时间内通过一次插入一个矩形来构造多段线，每个矩形都有 O(log n) 的工作量。

这是一个可视化。四个点是输入元组。蓝线左下方区域对应“True”返回值：

元组 A、B、C 影响边界。元组 D 没有。

所以问题是这个 2 元组版本是否可以很好地推广到 3。半无限轴对齐矩形的并集改为矩形棱柱的并集。边界多段线变为 3d 曲面。

存在一些表示此类问题的常用方法。一种是八叉树。计算八叉树的并集是一种众所周知的标准算法并且相当有效。查询一个成员需要 O(log k) 时间，其中 k 是其中包含的最大整数坐标范围。这可能是最简单的选择。但是如果整数域很大，八叉树可能会相对较慢并且占用大量空间。

另一个没有这些弱点的候选者是二进制空间分区，它可以处理任意维度。 BSP 使用维度为 n-1 的（超）平面来递归分割 n-d 空间。树描述了平面的逻辑关系。在这个应用程序中，每个元组需要 3 个平面。由平面诱导的“真”半空间的交点将是对应于元组的真半无限棱镜。查询针正在遍历树以确定您是否在任何棱镜内。 BSP 的平均情况表现非常好，但树的最坏情况大小很糟糕：在大小为 O(2^n) 的树上的搜索时间为 O(n)。在实际应用中，使用技巧来在创建时找到大小适中的 BSP，从随机插入顺序开始。

K-d 树是另一种可以适应此问题的基于树的空间划分方案。不过，这将需要一些工作，因为 k-d 树的大多数表示都与搜索点有关，而不是表示区域。它们的最坏情况行为与 BSP 相同。

另一个坏消息是这些算法不太适合大于 3 的元组。树很快就会变得太大。搜索高维空间是困难的，也是一个积极研究的话题。但是，由于您没有提及元组长度，我将在此停止。

【讨论】：

从具体的数据结构到提到，让我插入binary space partitioning (BSP) tree（最坏的情况不太可能，也没有八叉树那么令人失望，但是（问题）空间分区更难利用）和@987654322 @（介于两者之间）。
对于预检查，可以考虑“内接”凸包以及常规凸包。
@greybeard 谢谢。不知道为什么我没有想到 BSP。我实际上已经在 3d 中实现了一个。

【解决方案2】：

spatial indexing 系统解决了此类问题。有许多数据结构可以让您的查询高效执行。

【讨论】：

【解决方案3】：

让 S 是一个 topologically-sorted 的原始集合的副本，每个 m 元组有 n 个。然后我们可以对 S 中的任何测试元组使用二进制搜索，每次搜索的成本为 O(m ln n)（由于最多 lg n 个搜索层，每个层最多进行 m 个比较）。

注意，假设S中存在元组P、Q，使得P≤Q（即Q中没有一个元素小于P的对应元素）。然后可以从 S 中删除元组 Q。在实践中，这通常可能会将 S 的大小减少到 m 的小倍数，这将给出 O(m ln m) 的性能；但在最坏的情况下，根本不会提供任何减少。

【讨论】：

感谢您的回答 jwpat7！我研究了拓扑排序，但我认为我不完全理解你答案的第一部分，你介意详细说明你的答案吗？例如，如果在拓扑排序后元组之间没有任何确定的顺序，那么二进制搜索如何处理这种情况？例如，如果列表 = [, , ]，我们应该如何在这里对测试元组 ?
我不认为二进制搜索非全序有希望。给定 [(1, 6), (3, 4), (2, 5)]，有多少线性化？查找 (4, 3) 之类的键时，我可以忽略列表的哪一部分？

【解决方案4】：

试图回答
allcorrespondingelements greater than or equal to a given tuple (needle)
（使用 y 和 z 表示集合/干草堆栈的成员，x 表示查询元组/针和 x ll y 当 xₐ ≤ yₐ 对于所有 ₐ （x 支配 由 y））

计算所有元组元素的最小值、总和和最大值等摘要信息
按选择性排序标准
清除支配元组
构建一个 k-d-tree
用上下边界框结束：
一个元组 lower 由每个元素的最小值组成（如果 lower 支配 x 则返回 True）
和 upper 由最小值组成：如果 x 支配 upper

【讨论】：

我不会认为超越spatial indexing as suggested by Ted Hopp 会有用。这是（只是？）其他答案和 cmets 的想法的总结。