构建非线性指数模型——使用向量还是实数？

Question

我是 Stan 和概率编程的新手。我正在尝试构建一个非线性增长模型。我已经能够在NLS中构建模型了

我使用的 NLS 公式是：Trump_Pct ~ alpha - beta * lambda^Population

我的 NLS 总结是：

Parameters:
     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
alpha  5.627e+01  2.053e+00   27.41   <2e-16 ***
beta  3.018e+01  1.974e+00   15.29   <2e-16 ***
lambda 9.981e-01  2.486e-04 4014.47   <2e-16 ***

换句话说，一个基本的指数衰减曲线。我正在尝试使用 Stan 进行复制。

我的数据如下：

我在数据集中有N 观察结果：预测变量是一个县的人口（“人口”），预测的 Y 是对特朗普“Trump_Pct”的投票百分比。

我尝试了两种构建此模型的方法。

1. 在其中，我将每个组件作为向量传递给模型。

2. 另一方面，我将每个数据组件保留为一个列表并尝试使用每个数据点。

无论哪种情况，我都无法让模型成功运行。

这是我的模型：

案例一：

这是对this model的改编。

在这里，我创建了 Trump_Pct 和 Population 列的矢量化版本。

data {
    int N;
    vector[N] PopulationV;
    vector[N] Trump_PctV;
}
parameters {
    vector [1] alpha;
    vector [1] beta;
    vector [1] lambda;
    real<lower=0> sigma;
}
model {
    vector[N] ypred;
    ypred = alpha[1] - beta[1] * (lambda[1]^PopulationV);
    Trump_PctV ~ ypred + sigma;
}

由于以下原因，该模型在与指数一致时失败：

`语法错误，来自解析器的消息：

^ 的参数必须是原始的（实数或整数）； block=local`中的向量不能对实数求幂

我尝试过使用pow()，但找不到前进的方向。有什么建议吗？

案例 2：

data {
  int<lower=0> N;
  real <lower=0> Population[N];
  real <lower=0> Trump_Pct[N];
}
parameters {
  real alpha;
  real beta;
  real<lower=3,upper= 4> lambda;
  real<lower=0> tau;
}
transformed parameters {
  real sigma;
  sigma = 1 / sqrt(tau);
}
model {
  real m[N];
  for (i in 1:N)
    m[i] = alpha - beta * pow(lambda, Population[i]);

  Trump_Pct ~ normal(m, sigma);

  alpha ~ normal(10, 20);
  beta ~ normal(5, 10);
  lambda ~ uniform(3, 4);
  tau ~ gamma(.0001, .0001);
}

在情况 2 中，我无法将参数估计值保持在界限内：

"Informational Message: The current Metropolis proposal is about to be rejected because of the following issue:"
[2] "Exception thrown at line 21: normal_log: Location parameter[2873] is -inf, but must be finite!"

任何人都可以为我的公式提供一个简单的非线性模型的建议吗？

Answer 1

您的案例 2 是正确的语法。正如您所发现的，^ 和 pow 都不是输入向量，因此您必须遍历它们。

您看到的信息性消息是由于数字溢出，不应导致采样器停止。有关该消息here 的更多详细信息。

采样器可能无法启动，在这种情况下，您可以将 init_r 值传递给 stan 或 sampling 并将 init_r 设置为小于默认值 2 的值。这会影响在无约束空间中绘制初始值的均匀区间的宽度。

如果有很多溢出消息，则很可能还有其他问题，例如上述链接中也涵盖的不同转换。最终的解决方案可能涉及重新缩放数据、重新参数化模型和/或收紧先验。