Matlab：ode45 和 4 阶 Runge-Kutta 方法产生不同的值

Question

我正在尝试在 Matlab 中模拟仓本振荡。我尝试使用 ode45 来解决系统问题。我还看到其他人使用 Runge-kutta 方法。我知道 ode45 使用 Runge-kutta 方法，但是，我从每个方法中获得的值可疑地不同。

kuramoto= @(x,K,N,Omega)Omega+(K/N)*sum(sin(x*ones(1,N)-(ones(N,1)*x')))'
%Kuramoto is a model of N coupled ocilators (such as multiple radiowaves)
%The solution to the model is the phase of each ocilator
%[Kuramoto Equation][1]

theta(:,1) = 2*pi*randn(N,1);
t0 = theta(:,1);
[t,y] = ode45(@(t,y)kuramoto(theta(:,1),K,N,omega),tspan,t0);

%Runge-Kutta method
for j=1:iter
k1=kuramoto(theta(:,j),K,N,omega);
k2=kuramoto(theta(:,j)+0.5*h*k1,K,N,omega);
k3=kuramoto(theta(:,j)+0.5*h*k2,K,N,omega);           
k4=kuramoto(theta(:,j)+h*k3,K,N,omega);
theta(:, j+1)=theta(:,j)+(h/6)*(k1+2*k2+2*k3+k4);
end

这两种方法都输出一个包含 N 行（其中每行代表不同的振荡器）和 M 列（其中 M 代表给定时间的解）的矩阵。我让 ode45 以 0.1 的间隔提供从 0 到 0.5 的解。为了比较这些方法，我将从 Runge-Kutta 获得的矩阵与使用 ode45 获得的矩阵相减。理想情况下，两者应该具有相同的值，结果应该是一个 zeor 矩阵，但我得到的值如下：

0   -0.0003   -0.0012   -0.0027   -0.0048   -0.0076
0    0.0003    0.0012    0.0027    0.0048    0.0076
%here I have only two oscillators from t = [0.0,0.5] 

两个矩阵之间存在微小差异（以较大的时间间隔增长）。但不同寻常的是，每次计算的总值（即每一列）都是相同的。无论振荡器的数量如何，这都是一致的。

我不确定这是数学问题还是编程问题（可能两者都有），并且我认为我错误地调用了 ode45，但我不确定并且几天来一直无法找出问题所在.任何帮助将不胜感激。

Answer 1

您应该使用 ode45 输出。如果您选择的步长太大，您实现的 Runge Kutta 最终将变得不稳定。 ode45 的全部意义在于它在内部运行 Runge Kutta 4 和 Runge Kutta 5 方案。如果一个积分步骤的结果不同，则 ode45 将减少时间步骤，直到结果具有可比性。像你正在做的那样使用原始方法显然不会那样做。

从技术上讲，像 ode45 这样的东西被称为“嵌入式龙格库塔”方法。这是一种这样的方法：https://en.wikipedia.org/wiki/Runge%E2%80%93Kutta%E2%80%93Fehlberg_method 它们是高效的，因为不同阶的 Runge Kutta 方法重用了许多相同的函数评估。

说了这么多，你应该会发现，如果你足够减少你的时间步，结果几乎是一样的。它们不同的唯一原因是 ode45 在检测到解决方案可能不准确时会在内部优化时间步长。

Answer 2

你真的用过这条线吗

[t,y] = ode45(@(t,y)kuramoto(theta(:,1),K,N,omega),tspan,t0);

在您的运行代码中？那么这里的结果肯定是错误的。使用

[t,y] = ode45(@(t,u)kuramoto(u,K,N,omega),tspan,t0);

获得至少与 RK4 集成相关的结果。也就是说，在计算其值时使用匿名函数声明的局部变量/参数。 （使用 u 而不是 y 或 theta 以不重用也在更全局范围内使用的变量名称。如果需要自记录变量名称，可以使用 thetalocal 代替。）

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PS：差异之和为零是由于导数向量之和为零，因此状态向量上的和是一个常数，而不管应用这些方法时所犯的错误如何。因此，如果您从自身中减去相同的常数，您最终会再次为零。如果状态向量只有 2 个元素，那么差分向量的元素必须是相反的。