我有一个来自我正在阅读的算法书的问题，我不知道如何解决它（我已经很久没有做过对数或指数数学了）。问题如下：
假设我们正在比较相同的插入排序和归并排序的实现 机器。对于大小为 n 的输入，插入排序以 8n^2 步运行，而合并排序以 64n log n 步运行。对于 n 的哪些值，插入排序优于合并排序？
Log 以 2 为底。我开始尝试求解相等性，但卡在 n = 8 log n 左右。
我想要讨论如何在数学上解决这个问题的答案（不接受 excel 的蛮力，抱歉；））。任何指向对数数学描述的链接也将非常有助于我理解您的答案。
提前谢谢你！
【问题讨论】：
【讨论】：
最好的办法是使用牛顿法。
【讨论】：
解决此问题的一种技术是简单地使用图形计算器并绘制两个函数（请参阅另一个答案中的 Wolfram 链接）。找到您感兴趣的交叉路口（如果有多个交叉路口，如您的示例所示）。
无论如何，没有一个简单的表达式可以解决 n = 8 log₂ n（据我所知）。将问题改写为：“找到 f(n) = n - 8 log₂ n 的零”可能更简单。首先，找到一个包含您感兴趣的交叉点的区域，并不断缩小该区域。例如，假设您知道目标 n 大于 42，但小于 44。f(42) 小于 0，f(44) 大于 0。试试 f(43)。它小于 0，所以尝试 43.5。它仍然小于 0，所以尝试 43.75。它大于 0，所以尝试 43.625。大于0，所以继续往下，以此类推。这种技术称为binary search。
抱歉，这只是“使用 excel 的蛮力”的变体 :-)
编辑：
为了好玩，我制作了一个电子表格，用二进制搜索解决了这个问题：binary‑search.xls。二分搜索逻辑在第二个数据列中，我只是自动扩展了它。
【讨论】：