反转任意大小的矩阵答案

【问题标题】：Inverting a matrix of any size反转任意大小的矩阵
【发布时间】：2015-05-31 15:53:37
【问题描述】：

我正在使用GNU Scientific Library 来实现一个需要能够将矩阵求幂的计算器。不幸的是，GSL 中似乎没有这样的函数可用于矩阵乘法（gsl_matrix_mul_elements() 函数仅使用加法过程进行乘法），并且通过扩展，没有提升幂。

我希望能够提升到负面力量，这需要逆向的能力。从我的搜索中，我找不到任何用于计算任意矩阵的逆矩阵（只有具有定义维度的矩阵）的声音代码，并且我发现的手动操作指南使用了巧妙的“纸上技巧” '在代码中不能真正工作。

是否有一种通用算法可用于计算任意大小矩阵的逆矩阵（当无法计算逆矩阵时当然会失败）？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

如 cmets 中所述，可以为整数指数的方阵计算矩阵的幂。 n 的幂 A 是 A^n = A*A*...A，其中 A 出现 n 次。如果B 是A 的倒数，那么A 的-n 幂就是A^(-n) = (A^-1)^n = B^n = B*B*...B。

因此，为了计算 A 的 n 幂，我可以建议使用 GSL 的以下算法：

gsl_matrix_set_identity();         // initialize An as I
for(i=0;i<n;i++) gsl_blas_dgemm(); // compute recursive product of A

要计算B 矩阵，您可以使用以下例程

gsl_linalg_LU_decomp();       // compute A decomposition
gsl_linalg_complex_LU_invert  // comput inverse from decomposition

【讨论】：

本说明不解释获取gsl_linalg_LU_decomp()所需的gsl_permutation_t作为参数的方法。其中的数据需要已经初始化。
@2mac gsl_permutation_t 并不总是需要。这取决于数据的存储方式。该问题没有提供任何相关信息。
但是，在查看gsl_linalg_LU_decomp() 的来源时，它要做的第二件事是检查排列的大小是否等于矩阵的size1 值。如果我没有正确初始化它，这将返回 false（嗯，真的未定义），并且调用将失败。
@2mac 我不明白问题的根源，但请注意，只有方阵是可逆的。
gsl_linalg_LU_decomp() 需要 gsl_permutation 作为其第二个参数。这个gsl_permutation 在函数中使用，它需要基于作为第一个参数给出的矩阵具有某些值。如果我没有正确初始化排列，调用将失败，因为不知道我给了它什么数据，并且仅仅初始化大小不是一个选项，因为排列值稍后在 decomp 中使用。这与矩阵是否为正方形无关。它与内存以及如何初始化数据有关，这在 C 中是基本的。

【解决方案2】：

我建议阅读 gsl 实现的 SVD。如果你的矩阵是可逆的，那么通过 SVD 计算它是一个不错的方法，虽然有点慢。如果您的矩阵不可逆，则 SVD 允许您计算下一个最好的东西，generalised inverse。

在矩阵计算中，浮点运算中固有的误差会累积得惊人。一个例子是Hilbert matrix，一个看起来很无辜的东西，条件数非常大，即使是在相当适中的维度上也是如此。反演例程的一个很好的测试是查看它可以反转多大的希尔伯特矩阵，以及计算出的矩阵与恒等式的倒数有多接近。

【讨论】：