圆角：如何计算圆角半径？

Question

我如何找到可以应用于任一角的最大舍入，以便在另一个角上进行任意数量的舍入？

对cmets问题的回答：

1) 内外大圆弧（此处为 90 度宽）始终具有相同的中心

2) 当要求你可以做的最大舍入时，对另一个较小的圆圈有什么限制？它是否需要至少有一些半径？否则，您将只得到一个舍入。

给定两个圆的半径之一。除了我找不到的另一个圆圈的最大值之外，没有其他约束。 如果我所指的“固定”角的舍入为零，那么我正在寻找只能用于另一个角的最大舍入。

3) 什么是最大舍入？您是否尝试在上述两个示例之间进行选择？或者找到其中任何一种情况都被认为是一种解决方案？

显示的任何一个案例都是完美的解决方案。例如。在第一张图像中，可能会给出较小圆的半径。然后我正在寻找较大的最大半径。 这些图片只是完美解决方案的示例。

4) 两条弧线有什么限制吗？如果弧不能适合一个完整的圆会发生什么？答案会是最大的合适吗？

你的意思是弧不能适合一个完整的圆？

所有的圆都是完美的圆，但我不知道可能的舍入的最大大小，或者如何计算它的位置。这是一些描述问题的图像。

Answer 1

假设坐标系的原点在内外大圆弧的中心点...

对于大圆与外缘相切的第一种情况，大圆的圆心为

x = R cos(t) / (1 + cos(t))
y = R sin(t) / (1 + cos(t))

其中R是外圆弧段的半径，t是x轴与从原点到大圆中心的射线的夹角。

对于大圆与内边相切的第二种情况，大圆的圆心为

x = R cos(t) / (1 - cos(t))
y = R sin(t) / (1 - cos(t))

其中R是内圆弧段的半径，t是角度...

在这两种情况下，圆的半径都等于它的 x 坐标。 t 的范围在某个最小角度和 PI/2 之间。在 PI/2 时，圆非常小。在最小角度处，y 值等于相反的半径。换句话说，对于大圆与外边缘相切的第一种情况，最小角度是使得 y 等于内半径。而如果圆与内边缘相切，则最小角度是使得 y 等于外半径。可以从数学上证明，两种情况的最小角度相同（对于给定的内半径和外半径，内切线和外切线都具有相同的最小角度）。但是，计算最小角度有点困难。我知道如何做到这一点的唯一方法是玩高/低游戏，例如

- (CGFloat)computeAngleForOuterTangentGivenY:(CGFloat)Y
{
    CGFloat y;
    double high = M_PI_2;
    double low  = 0;
    double mid  = M_PI_4;

    while ( high - low > 1e-9 )
    {
        y = (self.outerRadius * sin( mid )) / (1.0 + cos( mid ));
        if ( y > Y )
            high = mid;
        else
            low = mid;
        mid = (low + high) / 2.0;
    }

    return( mid );
}

- (CGFloat)computeAngleForInnerTangentGivenY:(CGFloat)Y
{
    CGFloat y;
    double high = M_PI_2;
    double low  = 0;
    double mid  = M_PI_4;

    while ( high - low > 1e-9 )
    {
        y = (self.innerRadius * sin( mid )) / (1.0 - cos( mid ));
        if ( y > Y )
            low = mid;
        else
            high = mid;
        mid = (low + high) / 2.0;
    }

    return( mid );
}

循环大约需要 30 次才能收敛到答案。

要找到小圆的坐标，注意小圆与大圆的y值相同，并且与圆弧段的对边相切。因此，使用适当的高/低算法根据小圆的 y 值计算小圆的角度t，然后使用上述公式计算 x 值。

QED

Answer 2

如果没有显示线段的两端，问题就无法正确提出。假设每条线段是一个数据结构，它不仅维护端点，还维护每个点的半径，并且还知道这条线将连接到的下一个端点的角度。每个帽半径将从必须作为矩形描边的线段的长度中减去。假设您在点 B 和 C 之间有一条感兴趣的线，其中 B 连接到另一个（更长的）线段 A，C 连接到另一个（更长的）线段 D。如果线 BC 的长度为 10，帽半径 B 和帽半径 C都设置为4，那么你将只为线段的直线部分渲染长度为2的矩形，而长度4用于将圆弧绘制到A，另一个长度4用于将圆弧绘制到D。

此外，C 的最大帽半径不仅受 BC 和 B 的帽半径的约束，还受 CD 和 D 的帽半径的约束。