3 X 3 魔方递归

Question

我正在尝试找到 3X3 幻方的所有可能解决方案。 应该正好有 8 个解。

我的代码得到了所有这些，但有很多重复。我很难跟踪递归步骤以了解为什么我会得到所有重复。

// This program finds all solutions to the magic square for a 3X3     
// square where each column, row and diagonal sum is equal

#include <iostream>
using namespace std;
#define SQUARE_SIZE 9

int anyLine = 0;
int currLine = 0;
int numSolutions = 0;


// swap two values in the square.
void swap(int arr[], int idxa, int idxb)
{
    int tmp = arr[idxa];
    arr[idxa] = arr[idxb];
    arr[idxb] = tmp;
}

void printArray(int arr[])
{
    for (int i = 0; i < SQUARE_SIZE; i++)
    {
        cout << arr[i] << " ";
        if ((i + 1) % 3 == 0)
            cout << endl;
    }
    cout << endl;
}

// this function tests to see if we have a "good" arrangement of numbers            
// i.e the sum of each row, column and diagonal is equal

bool checkArr(int arr[])
{
    anyLine = arr[0] + arr[1] + arr[2];
    currLine = 0;
    for (int i = 0; i < SQUARE_SIZE; i++)
    {
        currLine += arr[i];
        if ((i + 1) % 3 == 0)
        {
            if (currLine != anyLine)
                return false;
            currLine = 0;
        }
    }

    // check vertically
    for (int col = 0; col <3; col++)
    {
        for (int row = 0; row <3; row++)
        {
            currLine += arr[col + 3 * row];
        }

        if (currLine != anyLine)
            return false;

        currLine = 0;
    }

    // check the diagonals
    if ((arr[2] + arr[4] + arr[6]) != anyLine)
        return false;

    if ((arr[0] + arr[4] + arr[8]) != anyLine)
        return false;

    return true;
}

void solve(int arr[], int pos)
{
    if (pos == 8)
    {
        if (checkArr(arr))
        {
            printArray(arr);
            numSolutions++;
        }
    } else 
    {
        for (int i = 0; i < 9; i++)
        {
            if (i == pos) continue;

            if (checkArr(arr))
            {
                printArray(arr);
                numSolutions++;
            }
            swap(arr, pos, i);
            solve(arr, pos + 1);
        }
    }
}

int main()
{
    int arr[SQUARE_SIZE] = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 };

    solve(arr, 0);
    cout << "number of solutions is: " << numSolutions << endl;

    return 0;
}

Answer 1

基本上，您使用recursive permutation algorithm 查找数组的所有排列。

你需要改变 4 件事：

首先，从 pos 开始循环，而不是 0

二、递归后交换元素（回溯）

第三，仅在生成每个完整排列后进行测试（当 pos = 8 时），否则您将多次测试相同的排列。

第四，与自身交换元素（即不交换它）是一种有效的排列，因为允许元素保持在其原始位置。

void solve(int arr[], int pos)
{
    if (pos == 8)
    {
        if (checkArr(arr))
        {
            printArray(arr);
            numSolutions++;
        }
    }
    else
    {
        for (int i = pos ; i < 9; i++)
        { 
            swap(arr,pos,i);
            solve(arr,pos +1);
            swap(arr,pos,i); 
        }
    }
}

Demo

Answer 2

您的代码从两个地方调用printArray - 递归的基本情况（即当pos == 8 时）和在调用swap 之前的循环中。第二次调用是不必要的：当你到达pos == 8 状态时，你会得到相同的方块。

这会减少重复的数量，但不会因为生成方块的方式而消除它们。您需要跟踪已打印的内容。一种方法是制作一组您找到的解决方案，并在打印新找到的解决方案之前对其进行检查：

set<int> seen;

int key(int arr[]) {
    return arr[0]
    + 10 * arr[1]
    + 100 * arr[2]
    + 1000 * arr[3]
    + 10000 * arr[4]
    + 100000 * arr[5]
    + 1000000 * arr[6]
    + 10000000 * arr[7]
    + 100000000 * arr[8];
}

 void printArray(int arr[]) {
    if (!seen.insert(key(arr)).second) {
        // second is set to false when a duplicate is found
        return;
    }
    numSolutions++;
    for (int i = 0; i < SQUARE_SIZE; i++) {
        cout << arr[i] << " ";
        if((i+1) % 3 == 0)
            cout << endl;
    }
    cout << endl;
 }

Demo.

关于上述解决方案的几点注意事项：

• key(int[]) 将正方形转换为单个十进制数字，因此这种方法仅适用于由十进制数字组成的正方形。对于任意数字，您需要采用不同的策略 - 例如，使用一组逗号分隔的字符串。
• 解决方案计数移至printArray(int[])。您可以完全放弃numSolutions，而改用seen.size()；它提供了相同的答案。

Answer 3

如果您不想出于练习目的实际递归解决此问题，我建议使用std::next_permutation：

void solve(int(&arr)[SQUARE_SIZE], int pos)
{
    sort(std::begin(arr), std::end(arr));
    do {
        if (checkArr(arr))  { 
            numSolutions++;
            printArray(arr);
        }
    } while (next_permutation(begin(arr), end(arr)));   
}