做powerOf（int x，int n）的最佳方法？答案

【问题标题】：Best way to do powerOf(int x, int n)?做powerOf（int x，int n）的最佳方法？
【发布时间】：2010-03-30 02:29:15
【问题描述】：

所以给定 x 和幂 n，求解 X^n。有一个简单的方法是O(n)... 我可以通过这样做将其归结为O(n/2)

numSquares = n/2;
numOnes = n%2;
return (numSquares * x * x + numOnes * x);

现在有一个O(log(n)) 解决方案，有人知道怎么做吗？它可以递归完成。

【问题讨论】：

不需要递归完成；可以通过简单的迭代来完成。
你知道 O(n/2) 和 O(n) 是一样的吗？

标签： c++ algorithm math big-o

【解决方案1】：

嗯，你知道 x^a+b = x^a x^b 所以...

int pow(int x, unsigned int y)
{
  if (y == 0) return 1;
  if (y == 1) return x;
  int a = y / 2;
  int xa = pow(x, a);
  if (a + a == y) // y even
    return xa * xa;
  else
    return xa * xa * x;
}

【讨论】：

您还需要if (y<0) { return (x==1)?1:0; } 并为y<0, x==0 抛出异常
递归计算已经如此昂贵的东西，比如计算一个数字的幂似乎有点矫枉过正
递归到底有什么过火之处？此外，它的计算成本不高，运行时间为 O(lg(n))。
我应该说计算密集型，对此感到抱歉。该函数不是尾调用可优化的，我怀疑这里的函数调用开销与每次调用的执行时间相当。
如果他想进行微优化，那么这取决于他。我正在展示一些优雅的东西来展示这个概念。递归解决方案几乎总是比迭代解决方案更容易理解。

【解决方案2】：

可以利用的数学概念是x2n+1 = x2n ⋅ x 和x2n = xn ⋅ xn。

【讨论】：

【解决方案3】：

通常的实现是这样的（摘自wikipedia article）：

long power(long x, unsigned long n)
{
    long result = 1;
    while (n > 0) {
        /* n is odd, bitwise test */ 
        if (n & 1) {
            result *= x;
        }
        x *= x;
        n /= 2;     /* integer division, rounds down */
    }
    return result;
}

递归不是必需的或（我会说）特别可取，尽管它可以赢得显而易见：

long power(long x, unsigned long n)
{
    if (n == 0) return 1;
    long result = power(x, n/2); // x ^ (n/2)
    result *= result;            // x ^ (n/2)*2
    if (n & 1) result *= x;      // x ^ n
    return result;
}

当然，在任何版本中，您都会很快溢出 long。您可以将相同的算法应用于您最喜欢的 bigint 表示，尽管任何 bigint 库都将包含整数幂函数。

上述函数的两个版本都为 power(0,0) 返回 1。您可能会也可能不会认为这是一个错误。

【讨论】：

有趣的事实：g77 通过平方使用取幂来计算积分幂。

【解决方案4】：

您可以在此处找到解释：Fast exponentiation。对于 n 的某些值，您可以使用比使用二的幂技巧更少的乘法来计算 x^n。

【讨论】：

【解决方案5】：

标准技巧是按顺序生成 x 的幂 x²、x⁴、x⁸、x¹⁶, x³², ... 并包括结果中需要的那些。

【讨论】：

除非我没有得到你的答案，否则你不能无限地这样做，对吧？
@Mike：如果你有一台无限的计算机，你只能无限地做任何事情，而我们大多数人都被普通的、非常有限的计算机所困。如果你使用多精度算术包，你可以处理足够大的数字，它们会让你大吃一惊。
Mike：为什么要无限做？你只需要做到n。
@gabe 是真的。尽管如此，我认为 Poita_ 提供了最好的答案。
+1：这里有一个例子来说明这个答案。假设我们必须计算 x^26。现在，26 = 11010 二进制。 “1”位置表示 16、8 和 2。因此，x^26 = (x^16) * (x^8) * (x^2)。现在，如果计算了系列 x、x^2、x^4、x^8、x^16，那么我们可以选择系列中的选定项目并将它们多个。总结：要计算 x^n，将 n 转换为二进制，找到为 1 的位位置（总是 2 的幂），从低位开始计算，然后乘以合适的位。