查找数组中的对数，其中 A[i] * A[j] > A[i] + A[j]

Question

例如如果数组 A 是

A[0] = 0.1
A[1] = 0.6
A[2] = 1.2
A[3] = 1.7
A[4] = 3.5

那么对于 (3,4) 对，我们有 A[3]*A[4] > A[3]+A[4]

我想在一个数组中找到这样对的数量。

还有A[i] = A1 [i] + A2[i]/1,000,000

其中 A1 和 A2 是给定的输入，A1 和 A2 按排序顺序。

用 O(n^2) 算法回答是微不足道的。有人告诉我有 O(n) 解决方案，无需使用额外空间。我正在寻找那个。

Answer 1

x * y > x + y

除以 x*y（对于正值）

1/x + 1/y < 1

让第一个光标 (R) 指向右侧元素（最小 1/a[i] 值），第二个光标 (L) 指向左侧元素。
将 L 向右移动，直到倒数和达到 1。
将 (R-L) 添加到结果中。
步骤 R 向左。
重复移动L，直到R和L相遇

两个光标最多移动N步，所以算法需要O(N)

Answer 2

由于问题中没有明确说明，因此我将在以下内容中做出以下两个假设：

• 镜像对只计算一次（否则，如果 (a,b) 是，则 (b,a) 是另一个有效对，因此会增加有效对的数量）
• 条目不得使用两次（例如，(3.01,3.01) 不是有效对）

这两个假设都可以通过代码的微小变化来改变。

A 已排序，因为 A1 和 A2 已排序。 举个小例子，如下所示

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int main()
{
   std::vector<double> A({0.1,0.15,0.25,0.29,0.35,0.55,0.65,0.85,1.15,1.44,1.46,1.59,1.88,2.01,2.04,2.05,3.01});
   size_t i=0, j=A.size()-1;
   int result = 0;
   if (A[j] <= 2) return 0;
   while (i != j) {
      if (A[i]*A[j]>A[i]+A[j]) {
        result += j-i;
        cout << A[i] << " to " << A[j] << " for a total of " << result << endl;
        --j;
    } else {
        ++i;
    }
   }
   return 0;
}

输出 8。http://ideone.com/LaV9Cy

这是O(n)，因为A[i+1] > A[i] 有效，因此如果第二个> 成立，则(A[i+1] - 1) * (A[j] - 1) > (A[i] - 1) * (A[j] - 1) > 1。因此，我们可以简单地将我们找到的两个极值 (result += j-i;) 之间的元素数量相加，而不是单独尝试所有这些。