QuickHull 算法的复杂性？

Question

我知道复杂度是 O(nlog(n))。但为什么？你是怎么得出这个答案的？

任何帮助将不胜感激，我很想知道！

Answer 1

它的平均情况复杂度被认为是O(n log(n))，而在最坏的情况下它需要O(n^2)（二次）。

考虑以下伪代码：

QuickHull (S, l, r)

     if S={ }    then return ()
else if S={l, r} then return (l, r)  // a single convex hull edge
else
    z = index of a point that is furthest (max distance) from xy.
    Let A be the set containing points strictly right of (x, z)
    Let B be the set containing points strictly right of (z, y)
    return {QuickHull (A, x, z) U (z) U QuickHull (B, z, y)}

分区由穿过两个不同极值点的线确定：最右边的最低点r 和最左边的最高点l。找到极端需要O(n) 时间。

对于递归函数，需要n步骤来确定极值点z，但递归调用的成本取决于集合A和集合B的大小。

最佳情况。考虑每个分区几乎平衡的最佳情况。然后我们有

T(n) = 2 T(n/2) + O(n).

这是一个熟悉的递归关系，其解为

T(n) = O(n log(n)).

这将发生在随机分布的点上。

最坏情况。当每个分区极度不平衡时，就会出现最坏情况。在这种情况下，递归关系是

T(n) = T(n-1) + O(n) 
     = T(n-1) + cn

重复展开显示这是O(n^2)。因此，在最坏的情况下，QuickHull 是二次方的。

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http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Compgeometry/MyCG/ConvexHull/quickHull.htm