我在一个 SO 问题中找到了以下 for 循环。
我发现时间复杂度是O(n log n)。
如果我们将k *= 2 更改为k *= 3，我将如何计算时间复杂度？
// 'int n' is defined somewhere
int var = 0;
for (int k = 1; k <= n; k *= 2)
for (int j = 1; j <= n; j++)
var++;
【问题讨论】：
标签： c++ algorithm time-complexity
时间复杂度仍为O(n log n)。
对于k *= 2，log 将以 2 为基数。
对于k *= 3，log 将以 3 为基数。
但是log 的基数的变化只会通过一个常数因子影响结果（这可以从log<sub>b</sub>a = log<sub>c</sub>a / log<sub>c</sub>b，对于任何基数c 的事实得出），这在 big -O 表示法，因此它们具有相同的时间复杂度。
我们从哪里得到log<sub>2</sub>n？
嗯，k 的值是这样的：
1, 2, 4, 8, 16, ..., 2m for some m, where 2m <= n < 2m+1
= 20 + 21 + 22 + ... + 2m当然上面只有m+1（0 到m）术语，所以循环运行m+1 次。
现在如果我们可以使用一些基本的对数来得到m 的n：
2m = c.n for some constant c, where 1 <= c < 2
log22m = log2(c.n)
m log22 = log2(c.n)
m.1 = log2c + log2n
m = O(log2c + log2n)
= O(log2n) // constant terms can be ignored
我们也可以对k *= 3 采用与上述完全相同的方法，只需将2 替换为3。
【讨论】：
答案是N×log3N。
要知道为什么，你需要弄清楚为什么原始问题的答案是 N×log2N。它会执行多少次（我们称之为k）？它将根据需要执行多次，以将2 与自身相乘，这样结果就会超过N。也就是说，2k > N。现在对表达式两边都取对数（对数的定义可以看here），看到k > log2N.
我们之所以使用2 作为对数的底，是因为左边指数的底是2。很容易看出，如果 exponen 的基数是 3，则应用 log3 会得出您正在解决的问题的答案。
【讨论】：
您可以使用 Sigma 符号正式且有条不紊地进行：
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【讨论】：