在极小极大算法中如何证明每个小节，策略是最优的？

Question

问题如题所示。

我知道 minimax 算法为 2 人游戏执行此操作（假设我们想要最大化 A 的利润）：当轮到 A 时，我们取子值的最大值，因为我们正在最大化 A 的利润，而当它是轮到 B，我们取子值的最小值，因为我们想最小化 B 的利润。

但是，我不认为上面的逻辑证明了每个子问题，策略在极小极大算法中都是最优的。我提出的问题有任何提示或解决方案吗？如果上面的逻辑是这样，那你能详细说明一下吗？

Answer 1

极小极大的主张是：如果其他玩家也使用相同的策略，极小极会给出最优策略。

基础：对于博弈树中的一个叶子 - 只有一个策略，极小极大显然选择了它，而且它是最优的 - 因为它是唯一的一个。
假设：minimax 为深度博弈选择最优策略d。
证明：

让我们看一个深度游戏d+1。显然有两种可能的情况：

1. 轮到了 - 这是max 阶段。在这种情况下，在我们可以做的所有可能的移动中 - minimax 递归地评估每个此类策略的最小-最大值，并为我们选择此移动的“子游戏”提供最佳结果。这些子博弈中的每一个都有深度d，并且从归纳假设来看，它是最优的。
   由于这是最大阶段 - min-max 算法选择最大值，这是我们的最佳解决方案。
2. 轮到对手了 - 这是min阶段。与上述逻辑类似，极小极大将案例分解为对手可以做的所有可能的动作，并评估他们的结果。根据归纳假设，评估是最优的，我们从中选择最小的——这将是对手会选择的，并且对他来说是最优策略（并假设对手在每一步都选择最优）——因此对手选择最小的评估，使我们的利润最小化，从而使他的利润最大化。

QED

在此基础上，您可以得出另一个极小极大声明——策略返回的值不小于您实际得到的值（无论对手的策略如何）。这可以通过与上述非常相似的归纳来证明。

指南：

Base：只有一个策略，当“树”实际上是一片叶子时，您将返回它。
声明：minimax 返回的深度游戏d 的值是从这个级别进行的所有游戏的下限，您根据minimax 选择，并且对对手没有限制。
证明：

让我们看看深度游戏d+1。

1. 如果轮到你，你选择了所有叶子中的最大值，因为你 在这里可以选择。每一片叶子都保证你（诱导 假设）至少某个值，并通过选择其中的最大值 - 您还可以保证所选择的价值。
2. 如果轮到对手 - 你无法控制选择。你只能确定他会选择一些动作，不知道是哪个。然而，对于所有可能的移动 - 你会得到一个深度为d 的新“子博弈”，其中归纳假设成立。对手可以选择这些招式中的任何一个，所以你可以保证在这一招之后，你至少会有min{game after opponent move}的值，这正是最小阶段返回的值。

QED。

Answer 2

你无法证明 minimax 最大化玩家的利润，因为 minimax 不会尝试最大化玩家的利润。

minimax 所做的是最小化玩家可能的损失；也就是说，它的决定是保守的，并假设最坏的情况（其他玩家的最佳游戏）。尝试证明这一点；你会发现它更简单。