无重复背包与有重复背包的不同应用

Question

我想知道是否存在仅使用一种或另一种可以解决的情况（即仅使用重复的背包或不重复的背包），或者两者是否总是可以相互还原。

为了清楚起见，给定 n 个项目 [1...n]，其中项目 i 的权重为 w_i，价值为 v_i，并试图选择项目的组合以使总价值最大化，而总重量小于一些 W。

不重复的背包公式（就动态规划而言）是

K(w, j) = max{K(w-w_j, j-1) + v_j, K(w, j-1)}

其中 K(w, j) 是指使用容量为 k 的背包和物品 1...j 可达到的最大值，而重复背包的公式为

K(w) = max{K(w-w_i) + v_i | w_i <= w}

其中 K(w) 是容量为 w 的背包可实现的最大重量。

Answer 1

您始终可以将带有重复的背包简化为不重复的背包，但反之则不行。要将一个有重复的背包减少到一个没有重复的背包，只需将每个对象添加与背包容量一样多的次数。您可以认为您永远无法在背包中放入更多实例，因此结果将与拥有无限多个副本相同。

为了证明没有重复的背包不能还原为有重复的背包，请考虑以下示例：

您有 3 个对象，分别标有价格和重量：(100$, 1kg)、(10$, 2kg) 和 (20$, 3kg)。还可以想象我们的背包可以装 3 公斤。如果我们允许重复，最好的解决方案是取第一种类型的 3 个对象，但不重复最好的解决方案是取第一个和第二个对象，这样利润会小得多。