我们可以在不回溯的情况下解决 N 个皇后吗？以及如何计算以及回溯解决方案的复杂性是多少？答案

【问题标题】：Can we solve N Queens without backtracking? and How to calculate and what will be the complexity of the backtracking solution?我们可以在不回溯的情况下解决 N 个皇后吗？以及如何计算以及回溯解决方案的复杂性是多少？
【发布时间】：2013-09-04 09:22:54
【问题描述】：

我已尝试通过回溯解决此问题，它会打印所有可能的解决方案。

提出了两个问题：

1.我可以使用其他技术实现 nqueen 吗？

2.是否可以让下面的代码只打印第一个解决方案然后终止？

我当前的代码使用回溯：

n = 8

x = [-1 for x in range(n)]

def safe(k,i):
    for j in xrange(k):
          if x[j] == i  or abs(x[j] - i) == abs(k - j) :
          return False
    return True


def nqueen(k):
    for i in xrange(n):
        if safe(k,i):
            x[k] = i 
        if k == n-1:
            print "SOLUTION", x
        else:
            nqueen(k+1)

nqueen(0)

注意：我对不依赖于特定编程语言的技术感兴趣。

【问题讨论】：

我发现空间复杂度 O(n) 但时间复杂度也是 O(n) 吗？

标签： python algorithm complexity-theory time-complexity backtracking

【解决方案1】：

根据Wikipedia，您可以使用启发式方法：

这个启发式求解任意 N ≥ 4 的 N 个皇后。它形成了皇后的垂直位置（行）的数字列表，水平位置（列）只是增加。 N 是 8 的八皇后拼图。

如果 N 除以 6 的余数不是 2 或 3，则列表只是所有偶数后跟所有奇数 ≤ N
否则，请编写单独的偶数和奇数列表（即 2,4,6,8 - 1,3,5,7）
如果余数为 2，则将奇数列表中的 1 和 3 交换，并将 5 移到末尾（即 3,1,7,5）
如果余数为 3，则将 2 移至偶数列表的末尾，将 1,3 移至奇数列表的末尾（即 4,6,8,2 - 5,7,9,1,3）
将奇数列表附加到偶数列表中，并将皇后放置在这些数字给出的行中，从左到右（即 a2、b4、c6、d8、e3、f1、g7、h5）

这个启发式是O(n)，因为它只是在一些if 语句之后打印结果。

关于您的第二个问题：“是否可以使下面的代码仅打印第一个解决方案然后终止？”

您可以在打印后拨打sys.exit(0)：

import sys
n = 8

x = [-1 for x in range(n)]

def safe(k,i):
    for j in xrange(k):
          if x[j] == i  or abs(x[j] - i) == abs(k - j) :
          return False
    return True


def nqueen(k):
    for i in xrange(n):
        if safe(k,i):
            x[k] = i 
            if k == n-1:
                print "SOLUTION", x
                sys.exit(0)
            else:
                nqueen(k+1)

nqueen(0)

或者，您也可以返回一个值，然后在它指示终止时传播该值：

n = 8

x = [-1 for x in range(n)]

def safe(k,i):
    for j in xrange(k):
          if x[j] == i  or abs(x[j] - i) == abs(k - j) :
          return False
    return True


def nqueen(k):
    for i in xrange(n):
        if safe(k,i):
            x[k] = i 
            if k == n-1:
                print "SOLUTION", x
                return True # Found a solution, send this good news!
            else:
                if nqueen(k+1): # Good news!
                    return True # Share the good news to parent!
    return False # We have searched every possible combinations, and I regret to tell you that I could not find any solution.

nqueen(0)

至于时间复杂度，既然是完整的搜索，那就是n^n。虽然由于修剪（使用safe(k,i)），但实际上它要快得多。

【讨论】：

您的第二种选择打印此输出 SOLUTION [0, -1, -1, -1, -1, -1, -1, -1] 并且是否有不使用 sys.exit 的解决方法(0)
@user2558628：请看我的回答。
我不想使用任何我想要的解决方案的特定技术，它可以在任何语言上工作，而不仅仅是 python，否则 sys.exit(0) 可以帮助我。
嗯，我假设您的代码是正确的。显然有一个缩进错误。我已经修复并测试了您的代码，现在它是正确的。 if k==n-1: 部分应在 if safe(k,i): 内

【解决方案2】：

在不回溯的情况下解决 N-queens 的问题还有另一个有趣的问题。是否有几乎完美女王放置启发式，这样，在回溯框架中，您几乎总能找到有效的配置？这相当于说启发式几乎总是告诉你正确的方格来放置下一个皇后在棋盘上。这种启发式方法比已知的封闭形式解决方案更有趣，它为所有 N 值提供有效配置（显然 N=2 和 3 除外）。

几乎完美最小回溯启发式的分析是文献中研究的一个问题。最重要的参考是[Kalé 90] 和 [San Segundo 2011]。将下一个皇后放在回溯框架中的最佳启发式方法似乎如下：

选择最受限制的行来放置下一个皇后（即可用的方块较少）
从 (1) 中的行中选择闭合对角线数量最少的正方形（最少限制策略）。

这里关闭对角线指的是取消所有可用的方格。

【讨论】：