长度为 N 的可重复组合有多少个？答案

【问题标题】：How many sum of repeatable combinations of length N?长度为 N 的可重复组合有多少个？
【发布时间】：2020-12-28 12:38:00
【问题描述】：

长度为 N 的可重复组合有多少个？

如 [1,3,5,10]，N = 4。

还有

[1,1,1,1] -> sum is 4

[1,1,1,3] -> sum is 6

...

[10,10,10,10] -> sum is 40

我执行回溯算法。通过python3

res = set()
n = 4
def backtrack(k, path):
    if len(path) == n:
        res.add(sum(path))
        return
    backtrack(k+1, path+[1])
    backtrack(k+1, path+[3])
    backtrack(k+1, path+[5])
    backtrack(k+1, path+[10])
    return
backtrack(0, list())

有没有更有效的解决方案？

【问题讨论】：

那是 Python，不是吗？考虑标记它以吸引更多潜在有用的用户。

标签： math combinations backtracking recursive-backtracking

【解决方案1】：

如果n elements 命令不重要，那么你的代码是错误的例如 [1,1,2,2] ~ [1,2,1,2]

您可以创建一个新列表并重复原始n 的每个元素次。那么问题是how many ways we can select n item from new list 可以很容易地计算出来如果您想要所有sums 的结果集，我认为没有比在所有情况下迭代更好的方法了。

【讨论】：

感谢您的回答。但是res有一个set()，我想计算N长度的组合之和（顺序不重要）
就像玩N轮游戏一样，每轮可以随机得到1、3、5、10点，你最终会得到多少个结果？
我的问题是，除了回溯还有其他方法吗？
因为在这种情况下，时间复杂度将是指数级的。

【解决方案2】：

O(n*len(list)*numberofdistinctsums) 接近。

我们有两组包含奇数步和偶数步的当前可能总和。我们从上一步的总和（使用i summands）计算由i+1 summands 形成的新总和。

例如，在两轮之后，我们得到了两个被加数的所有可能和。从之前的集合中得到 sum 8，我们将三个 summands 8+1, 8+3,8+5, 8+10 的和放入新的集合中，依此类推。

a = [1,3,5,10]
n = 4
sums = [set(a), set()]
for i in range(1, n):
    sums[i%2].clear
    for j in sums[(i+1)%2]:
        for x in a:
            sums[i%2].add(j + x)

print(len(sums[(n-1)%2]))

【讨论】：

mod 2有什么用？
@Obito Kang 在两组之间触发 - 一组用于偶数步，另一组用于奇数步
所以我们从前一步的总和（带有 i 总和）中得到新的总和（带有 i+1 总和）
因为长度会是N，所以和的下界应该是[1,1,1,...,1] == N，上界会是[10,10 ,10,...,10] == 10*N
问题中没有 10 个限制。由于限制如此之小，我们也可以使用数组（列表）而不是集合，但运行时间仍然很接近。（我在答案中更正了设置方法的时间估计）