在顶点着色器中将法线转换为视图空间

Question

当我们想在顶点着色器中计算光照时，我们需要视图空间中的法线向量。一般来说，它看起来如下（来自 OpenGL Superbible 5th）：

// normalMatrix is retrieved from GLMatrixStack modelViewMatrix
vec3 vEyeNormal = normalMatrix * vNormal

我想在不使用 GLT 库的情况下编写程序。在另一个来源 (http://en.wikibooks.org/wiki/GLSL_Programming/GLUT/Diffuse_Reflection) 中，我发现了以下公式：

vec3 normalDirection = normalize(m_3x3_inv_transp * v_normal);

变量 m_3x3_inv_transp 计算如下：

glm::mat3 m_3x3_inv_transp = glm::transpose(glm::inverse(glm::mat3(mesh.object2world)));

我意识到：

• 法线矩阵只是模型视图矩阵的旋转分量，因为 法线向量的平移是不可接受的。
• OpenGL 操作的顺序是缩放、平移、旋转 (Opengl order of matrix transformations)
• 逆矩阵是撤消最后一次转换 (http://tomdalling.com/blog/modern-opengl/04-cameras-vectors-and-input/)

我的问题是为什么在反转和转置矩阵后我得到 NormalMatrix 以及如何通过反转计算来检查它？

Answer 1

你的假设并不完全正确。

OpenGL 操作的顺序是缩放、平移、旋转。

不，通常你可以有一个任意的世界矩阵。这可以包括任意数量的操作。

逆矩阵是撤消上一次变换。

没有。如果你反转一个矩阵，它的整个效果就会被反转。例如。如果您有一个绕 x 轴旋转 45° 并平移 (1,2,3) 的矩阵，则其逆矩阵将导致平移 (-1,-2,-3)，然后旋转 -绕 x 轴 45°。

法线矩阵只是模型视图矩阵的旋转分量。

没有。如果是这种情况，那么您可以丢弃矩阵的平移（和任何透视）部分。但事实并非如此。

法线矩阵用于变换法线，使它们仍然与相应的表面正交。对于刚体变换（即旋转和平移），您可以直接使用世界变换。原因之一是您可以通过转置来反转旋转矩阵（因为它是正交的）。然后你有 transpose(transpose(world)) 这是原始矩阵。

对于一般矩阵，您必须按照您的说明计算矩阵。想象一下 (1, 2) 的缩放比例。如果你变换一个圆，它就会变成一个椭圆。让我们看一下 45° 的法线。该位置的圆的法线为 (1, 1)（未归一化）。如果我们用缩放矩阵变换这个法线，我们得到 (1, 2)。如果您想象变换后的椭圆，您会发现法线不再与曲面正交。因此，您必须使用不同的变换（在本例中为 (1, 0.5) 的缩放比例）来保持正交性。

Answer 2

根据《3D 游戏编程和计算机图形学的数学》第 66 页的答案（作者 Eric Lengyel）：

曲面上特定点处的切线T 和法线N 必须垂直，因此：

N . T = 0

假设我们使用矩阵M 变换表面。变换曲面上该点的切线为：

T' = MT

我们想要找到一个矩阵G 使得N' = GN 是变换曲面上点的法线。由于变换曲面上点的法线和切线必须仍然垂直，我们有：

0 = N' . T' = (GN) . (MT) = trans(GN) * MT = trans(N) * trans(G) * MT

现在：

trans(N) * T = N . T = 0

所以如果满足上述条件：

trans(G) * M = I

出处：

G = trans(inv(M))

换句话说，转换法线所需的矩阵是用于转换切线的矩阵的逆矩阵的转置。