长除法余数的模式匹配

Question

我有一个有效的算法来确定分数是否无限重复以及哪些数字在重复：

std::vector<integer_type> rd, dg;
integer_type d ( m_numer ), r;

do {

    integer_type q, aux;

    rd.push_back ( r = ( aux = _remquo<T, GCD, CHKOP> () ( d, m_denom, q ) ) < zero_ ?
                       integer_type ( -aux ) : aux );
    dg.push_back ( q < zero_ ? integer_type ( -q ) : q );

    d = op_multiplies() ( base, r );

} while ( ! ( r == zero_ || std::find ( rd.rbegin() + 1, rd.rend(), r ) != rd.rend() ) );

注意事项：

• rd 包含余数
• dg 包含十进制结果数字
• _remquo整数将第一个和第二个操作数相除并将余数存储在第三个参数中，忽略模板参数
• base 可以认为是10 的十进制值
• m_numer 是分数的分子
• m_denom 是分数的分母

问题：

我想至少去掉std::find ( rd.rbegin() + 1, rd.rend(), r ) != rd.rend() )，即我想检测之前是否已经出现了余数（也最好去掉rd向量）最后一位数字之间的距离从右到左到rd 中的第一个重复数字。

问题是，我想在合理的时间内（无需花费反向搜索余数向量的时间）分析具有 HUGE 重复数字序列的数字，如 1083448249/12172166。

有人有什么想法吗？

Answer 1

直接计算十进制扩展的位数，无需大数。使用弗洛伊德的周期检测方法来计算周期。在 Python 中（循环检测代码由 Wikipedia 提供）：

#!/usr/bin/env python3
def floyd(f, x0):
    tortoise = f(x0)
    hare = f(f(x0))
    while tortoise != hare:
        tortoise = f(tortoise)
        hare = f(f(hare))
    mu = 0
    tortoise = x0
    while tortoise != hare:
        tortoise = f(tortoise)
        hare = f(hare)
        mu += 1
    lam = 1
    hare = f(tortoise)
    while tortoise != hare:
        hare = f(hare)
        lam += 1
    return (lam, mu)


def repeating_decimal(n, d):
    q, r = divmod(n, d)
    decimal = [str(q), '.']
    period, first_repeat = floyd(lambda r: 10 * r % d, r)
    for i in range(first_repeat + period):
        q, r = divmod(10 * r, d)
        decimal.append(str(q))
    return '{}({})'.format(''.join(decimal[:2 + first_repeat]), ''.join(decimal[2 + first_repeat:]))


print(repeating_decimal(1, 75))
print(repeating_decimal(1083448249, 12172166))