使用双三次插值填充矩阵的边界

Question

我有一个大小为28x22 的矩阵。第一行、最后两行、第一列和最后两列（以红色和绿色标记）为空。这些列和行应该由双三次插值填充。

我在 SO 和互联网上阅读了几篇关于双三次插值的帖子，但不幸的是，我无法理解。此外，我读到双三次插值需要知道需要插值的像素周围的 4x4 网格。但是，由于行和列处于边界，所以我没有在它们周围设置4 x 4 网格。

Answer 1

序幕

您需要推断未知区域。您需要根据要推断数据的信息来决定。例如，您想使用未知区域附近的点或使用沿整个已知区域分散的点。两种方法都有效，但结果不同，满足不同的需求。

我将使用靠近未知区域的点。让我从更简单的案例开始：

1. 一维线性外推

   线性外推法使用由 2 个已知点形成的线。所以例如假设这个向量：

   x 轴是向量/数组索引，y 轴是单元格的值。所以我取了 2 个最后已知的点（蓝色）并从中形成一条线（绿色）。它与下一个数组位置相交的地方是您的外推值（红色）。所以在 C++ 中它看起来像这样：

   float a[8]={ 1.0,2.0,4.0,8.0,10.0,7.0,0.0,0.0 }; // your vector (last two numbers are unknown)
   a[6]=a[4]+((a[5]-a[4])*2.0); // =4.0
   a[7]=a[4]+((a[5]-a[4])*3.0); // =1.0
   

2. 一维三次外推

   它类似于 #1，但不是直线，而是使用参数多项式形式的 4 个控制点三次曲线。大多数三次曲线都是这样构造的，如果参数t=0，您将获得第二个控制点，如果t=1，您将获得第三个控制点。如果您使用t=<0,1>，那么您将在它们之间顺利迭代。我们需要在最后一个控制点之后扩大范围，所以t>=3 与步骤1 为下一个点位置。所以：

   float a[8]={ 1.0,2.0,4.0,8.0,10.0,7.0,0.0,0.0 }; // your vector (last two numbers are unknown)
   float a0,a1,a2,a3; // your cubic curve polynomial coefficients (computed from 4 control points a[2],a[3],a[4],a[5])
   float t; // curve parameter
   // here compute the a0,a1,a2,a3
   t=3.0; a[6]=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t*t;
   t=4.0; a[7]=a0+a1*t+a2*t*t+a3*t*t*t*t;
   

   现在如何获得a0,a1,a2,a3 系数？哟可以使用任何插值多项式。我最喜欢的是这个（bullet #3）：

   • Proper implementation of cubic spline interpolation

   就是这样（希望我在用 a[2+i] 替换 pi 时没有出现一些愚蠢的索引错误）：

   float  d1,d2;
   d1=0.5*(a[4]-a[2]);
   d2=0.5*(a[5]-a[3]);
   a0=a[3];
   a1=d1;
   a2=(3.0*(a[4]-a[3]))-(2.0*d1)-d2;
   a3=d1+d2+(2.0*(-a[4]+a[3]));
   

3. 二维双三次外推

   这只是将问题分解为一组 1D 三次外推。如果您从上方查看 #2 中的图表，您会看到双三次：

   因此，首先您计算未知列（您可以），然后从中计算丢失的行（反之亦然）。